Probleme de Algebra

2.43. Fie G un grup iar H G un subgrup propriu al său.
Să se demonstreze că < G \ H > = G.
2.44. Fie (G, ) un grup care are un subgrup H a.î. G \ H are un număr
finit de elemente. Să se arate că grupul G este finit.
2.45. Fie (G, ) un grup abelian finit. Spunem că subgrupul H al lui G
are proprietatea (A) dacă G H şi produsul elementelor lui H este egal cu
produsul elementelor din G \ H. Să se arate că dacă G are un subgrup cu
proprietatea (A), atunci orice subgrup al lui G, diferit de G are proprietatea (A).
sale.
2.46. Pentru un grup finit G notăm cu s(G) numărul de subgrupuri ale
Să se arate că:
G
(i) Pentru orice număr real a > 0 există grupuri finite G a.î. a ;
s(
G)
G
(ii) Pentru orice număr real a > 0 există grupuri finite G a.î. a .
s(
G)
2.47. Fie o operaţie algebrică asociativă pe mulţimea M. Să se
demonstreze că (M, ) este grup dacă şi numai dacă oricare ar fi a M, există
n ℕ* a.î. fa: M M, fa(x) = axa n să fie surjectivă.
2.48. Să se demonstreze că grupul aditiv (ℚ,+) nu este finit generat.
2.49. Fie H un subgrup al grupului aditiv (ℚ, +).
Să se arate că dacă ℚ = H + ℤ, atunci H = ℚ.
2.50. Fie (G,·) un grup (abelian), G o mulţime pentru care există o
bijecţie f : G G . Pentru x,y G definim x y = f(f -1 (x)·f -1 (y)). Să se arate că
în felul acesta (G , ) devine grup (abelian).
2.51. Să se demonstreze că pe orice interval deschis şi mărginit de
numere reale se poate defini o operaţie algebrică ce determină pe intervalul
respectiv o structură de grup.
2.52. Fie (G,·) un grup. Să se arate că următoarele afirmaţii sunt
echivalente :
(i) Orice parte stabilă a lui G este subgrup al său ;
(ii) Pentru orice x G, există k ℕ * a.î. x k = 1.
22