Probleme de Algebra

2.77. Să se demonstreze că grupul altern An este generat de ciclii
(1,2,3), (1,2,4), …,(1,2,n).
2.78. Să se demonstreze că în Sn avem :
(1,2, … ,r) = (2,3, … ,r,1) = …= (r,1,2, … ,r-1) (r n).
2.79. Să se demonstreze că dacă este un r-ciclu în Sn , atunci
n) şi r este cel mai mic număr natural cu această proprietate.
2.89. Fie p un număr prim. Să se demonstreze că :
26
r = e (r
2.80. Fie şi doi r-ciclii în Sn (r n).
Să se demonstreze că dacă există i Sn a.î. (i) i şi (i) i iar
k (i) = k (i) pentru orice k natural , atunci = .
2.81. Două permutări , Sn se zic disjuncte dacă atunci când una din
ele schimbă un element, cealaltă îl fixează.
Să se demonstreze că dacă = (i1,i2, … ,ir), = (j1,j2, …, js), r, s n,
atunci şi sunt disjuncte {i1,i2, … ,ir } {j1,j2, …, js} = .
2.82. Să se demonstreze că dacă permutările , Sn sunt disjuncte,
atunci = .
An+2.
2.83. Să se demonstreze că Sn poate fi privit ca subgrup al lui
2.84. Să se demonstreze că pentru n 4, Z(An) = {e}.
2.85. Să se demonstreze că pentru n 3, Z(Sn) = {e}.
2.86. Să se demonstreze că în Sn două permutări sunt conjugate dacă şi
numai dacă au aceeaşi structură ciclică.
2.87. Să se rezolve în Sn ecuaţia x 2 = (1,2, … ,n).
2.88. Fie p un număr prim iar Sn un ciclu de lungime m (m n).
Să se demonstreze că :
(i) Dacă p∤ m, atunci
orbită ca şi ;
(ii) Dacă p | m, atunci
m/p.
p este un ciclu de lungime m, având aceeaşi
p este un produs de p cicli disjuncţi de lungime