Probleme de Algebra

§3. Teorema lui Lagrange. Ordinul unui element.
Indicele unui subgrup. Subgrupuri normale.
1
3.1. Fie G un grup finit a.î. Z(G) > · G . Să se demonstreze că grupul
2
G este comutativ.
3.2. Fie G un grup finit comutativ a.î. x 2 = 1 pentru mai mult de
jumătate din elementele lui G. Să se demonstreze că x 2 = 1, oricare ar fi x G.
3.3. Să se demonstreze că într-un grup G cu 2n elemente, unde n este
număr impar, există cel mult n elemente de ordin 2.
că :
3.4. Fie G un grup iar x G un element de ordin finit. Să se demonstreze
o(x n ) o(x), oricare ar fi n ℕ.
3.5. Să se arate că într-un grup abelian G există un element al cărui
ordin este egal cu c.m.m.d.c al ordinelor tuturor elementelor x 1 ale lui G.
3.6. Fie G un grup, x,y G a.î. xy = yx iar x m = y n = 1 (m,n ℕ).
Să se demonstreze că (xy) k = 1, unde k = [m,n].
Putem avea o(xy) < k ?
3.7. Fie G un grup iar x,y G.
Să se demonstreze că o(xy) = o(yx) şi o(x) = o(x -1 ).
3.8. Fie G un grup iar x G un element de ordin finit n.
Să se demonstreze că pentru orice m ℕ * , o(x m ) = n/(m,n).
3.9. Fie G un grup şi x,y G cu o(x) = n1, o(y) = n2 finite, (n1,n2) = 1
iar xy = yx. Să se demonstreze că o(xy) = o(x) · o(y).
Dacă condiţia (n1,n2) = 1 se înlocuieşte cu = {1}, să se arate
că o(xy) = [n1,n2].
3.10. Fie G un grup, x G a.î. o(x) = n1n2 cu n1,n2 ℕ
28
* , (n1,n2)=1.
Să se demonstreze că există şi sunt unic determinate elementele y,z G
a.î. x = yz = zy şi o(y) = n1, o(z) = n2.