Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

242 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID⎡ ⎛= ⎣A · ⎝ u ⎞⎤t⎡ ⎛1u 2⎠⎦· ¡A· [X] · A t¢ · ⎣A · ⎝ u ⎞⎤1u 2⎠⎦u 3 u 3⎛= ¡ ¢ ¡u 1 u 2 u 3 · A t A ¢ · [X] · ¡A t A ¢ · ⎝ u ⎞1u 2⎠u 3= C.Revenind la formula Euler-Cauchy, cum, în general, I ∆ (S) > 0, arelocegalitatea 2 µ γα√ + I 33I∆1 = I 11µ α√I∆ 2+ I 22µ β+2I 13α√I∆·γ β√ +2I 23 √ ·I∆ I∆γ√I∆. 2√ +2I 12 √ ·I∆ I∆β√I∆Cazul I ∆ (S) =0poate surveni atunci când toate punctele sistemuluimecanic S sunt coliniare (cf. [76], p. 580).Înfăţişarea specială arelaţiei precedente ne dă ”ideea” de a o interpretadin punctul de vedere al geometriei analitice. Astfel, considerând vectorulr = x · i + y · j + z · k, putem introduceΦ (r) =I 11 x 2 + I 22 y 2 + I 33 z 2 +2I 12 xy +2I 13 xz +2I 23 yz.Apelând la teoria formelor pătratice în spaţii euclidiene (cf. [67], p. 303-306), afirmăm că există baza ortonormată E aspaţiului T R 3 cu proprietateacă formapătratică Φ poate fi pusă subforma canonicăΦ (r) =I 1 x ∗2 + I 2 y ∗2 + I 3 z ∗2în reperul R 000 =(O, −→ E ). Maimult,mărimile I 1 , I 2 , I 3 sunt valorile proprii(reale) ale matricei [I] acoeficienţilor formei pătratice Φ şi sunt independentedemodificareabazei E. Un alt rezultat al teoriei formelor pătraticepriveşte valorile staţionare ale acestora pe sfera-unitate a spaţiului T R 3 .Astfel,mărimileinf|r|=1 Φ (r)sup Φ (r)|r|=1sunt atinse pentru vectori proprii ai matricei [I] şi sunt egale cu cea mai mică,respectivceamaimaredintrevalorilepropriiI 1 , I 2 , I 3 (cf. [67], p. 307-308).