Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

54 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAtunci, funcţia f : E → R este integrabilă Lebesgue pe mulţimea E dacăZinf S(τ,f)=sups(τ,f) not= f(M)dλ(M).ττÎn particular, orice funcţie mărginită f măsurabilă pemulţimea E va fi integrabilăLebesgue pe mulţimea E (cf. [80], p. 151-153, [52], p. 97-98).Omulţime E ⊆ E 3 se numeşte jordaniană (mulţime Jordan) dacă frontierasa, notată Fr(E), este măsurabilă Lebesgue şi λ(Fr(E)) = 0 (cf. [68],p. 213).În mod evident, E = i(E)∪(Fr(E)∩E). Măsura Lebesgue fiind completă(adică, pentru orice F ⊆ E, unde E ∈ A şi λ(E) =0,avemF ∈ A şiλ(F )=0) (cf. [80], p. 95, 116), deducem că orice mulţime Jordan E estemăsurabilă Lebesgue.Un exemplu ”natural” de mulţime jordaniană îl constituie mulţimile deschiseîn E 3 . Într-adevăr, dacă G ⊆ E 3 este o mulţime deschisă (în raportcu topologia metrică), atunci G ⊆ S ∆ n , unde (∆ n ) n>1 reprezintă celulecun>1muchii finite, disjuncte două câte două. Conform [64], problema 1.3, p. 31,Fr(G) ⊆ S Fr(∆ n ) şi, folosind σ−subaditivitatea măsurii Lebesgue, putemscrie căn>1P0 6 λ(Fr(G)) 6 ∞ λ(Fr(∆ n )) = 0.n=1Această proprietate a mulţimilor jordaniene de a fi reuniunea dintre omulţime deschisă (interiorul lor), uneori vidă, şi ceva ”neglijabil” (de măsurăLebesgue nulă) dă naştere unor complicaţii spectaculoase în teoria ecuaţiilorcu derivate parţiale (cf., de exemplu, [13], p. 171). În ceea ce priveşte”aproximarea”, în general, a mulţimilor măsurabile cu mulţimi boreliene (aşacum mulţimile deschise aproximează mulţimile Jordan), reamintim că, fiinddată mulţimea măsurabilă E din E 3 ,existăomulţime H, detipF σ ,şi omulţime K, detipG δ ,astfelîncâtH ⊆ E ⊆ K, λ(H) =λ(K), λ(KÂH) =0(cf. [80], p. 119-120). Astfel, orice mulţime măsurabilă este reuniunea dintreomulţime boreliană şi ceva ”neglijabil”.O funcţie continuă şi mărginită f, definită pemulţimea jordaniană E,unde λ(E) < +∞, este integrabilă Lebesgue (cf. [80], p. 125, [68], p. 215).Într-adevăr, pentru orice a ∈ R există mulţimea G a deschisă în raport cutopologia metrică aluiE 3 astfel încât{x ∈ E : f(x) >a} = f −1 ((a, +∞)) = G a ∩ E ∈ T EE