Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

40 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL= w ·ρ · ρ + w ρ · (ω × ρ)= w ·ρ · ρ + ω × (w ρ · ρ)= w ·ρ · ρ + ω × w,unde ω = ρ× ρ ·(cf. [32], p. 96).Folosim ca analogie calculul din (2.20). Astfel, mărimea w ·ρ·ρ joacă”rolul” derivatei relative, fiind o derivată a ”coordonatei” w ρ ,întimpcemărimea ω × w reprezintă legătura dintre derivata absolută şi cea relativă,scrisă subformaunuiprodus vectorial. O asemenea legătură vafi stabilită încontinuare între w, · ¡ ¢∂w.∂t RFormula (2.20), deja întâlnită 0 în cazul particular al vectorului-acceleraţie,arată că, în general, derivata absolută a unui vector este oblică faţă devectorşi se descompune într-o componentă longitudinală (coliniarăcuvectorul),datorată variaţiei modulului acestuia, şi o componentă transversală(perpendicularăpe vector), datorată variaţiei direcţiei ρ(t) (cf. [32], p. 96). Vectorulω din (2.20) nu este unic, ci doar perpendicular pe ρ. Într-adevăr, pentruorice h ∈ R putem scrie că ρ=ω ·h ×ρ, undeω h = ρ× ρ ·+h · ρ.În schimb, există şi este unic vectorul ω, declasă C ∞ (ca funcţie de t),cu proprietatea că·⎧⎪ ⎨⎪ ⎩i 1 = ω × i 1·j 1 = ω × j 1·k 1 = ω × k 1 .Să justificăm aserţiunea de mai sus. Conform (2.20),Sp({j 1 , k 1 }) şi există relaţia·i 1 = ω 12 (t) · j 1 + ω 13 (t) · k 1 ,··unde ω 12 (t) = i 1 ·j 1 , ω 13 (t) = i 1 ·k 1 şi ω 12 , ω 13 ∈ C ∞ (I,R 3 ).În mod analog, ajungem la formulele⎧⎪⎨⎪⎩·i 1 = ω 12 (t) · j 1 + ω 13 (t) · k 1·j 1 = ω 21 (t) · i 1 + ω 23 (t) · k 1·k 1 = ω 31 (t) · i 1 + ω 32 (t) · j 1 .·i 1 ⊥ i 1 ,deci(2.21)·i 1 ∈(2.22)