Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

46 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAtunci, prin sumarea membru cu membru a relaţiilor (2.32), (2.33), ajungemla 0= d dt (ω 12 + ω 21 )=ε 12 + ε 21 + ω 10 × (ω 12 + ω 21 ),deundeε 12 + ε 21 =0.În final, conform (2.31), (2.32), (2.33), putem scrie½ε10 = ε 20 + ε 12 + ω 20 × ω 12ε 20 = ε 10 + ε 21 + ω 10 × ω 21(cf. [15], vol. I, p. 100, [63], p. 266).2.1.10 O formulă matriceală înlegătură cuvectorulωVom nota cu (ω αβ ) α,β , respectiv (ωαβ ∗ ) α,β mărimile corespunzătoare vectorilorω 10 , ω 20 în (2.22). Astfel,⎧⎧··⎪⎨ i 1 = ω 12 · j 1 + ω 13 · k 1 ⎪⎨ i 2 = ω12 ∗ · j 2 + ω13 ∗ · k 2··j 1 = ω 21 · i 1 + ω 23 · k 1 j 2 = ω21 ∗ · i 2 + ω23 ∗ · k 2··⎪⎩⎪⎩k 1 = ω 31 · i 1 + ω 32 · j 1 . k 2 = ω31 ∗ · i 2 + ω32 ∗ · j 2 .Ştim deja că ω αβ (t) =−ω βα (t), ω ∗ αβ (t) =−ω∗ βα (t) şi ω αβ, ω ∗ αβ ∈ C∞ (I,R).Introducem cosinuşii directori (α mn ) m,n ai bazei D în raport cu baza Cprin formulele⎧⎨⎩i 2 = α 11 i 1 + α 12 j 1 + α 13 k 1j 2 = α 21 i 1 + α 22 j 1 + α 23 k 1k 2 = α 31 i 1 + α 32 j 1 + α 33 k 1 .Evident, α mn ∈ C ∞ not(I,R). Folosim notaţia (α mn ) m,n = A(t).Să considerăm matricele⎛⎞ ⎛⎞⎝ 0 ω 12 ω 13ω 21 0 ω 23ω 31 ω 32 0notate [ω], respectiv [ω ∗ ] (cf. [15], vol. I, p. 2).Atunci, are loc relaţia⎠⎝ 0 ω∗ 12 ω ∗ 13ω ∗ 21 0 ω ∗ 23ω ∗ 31 ω ∗ 32 0[ω ∗ ]=(·A +A[ω])A t .⎠ ,