Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

328 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDunde γ =sinθ · sin ϕ, γ 0 =sinθ · cos ϕ, γ 00 =cosθ (cf. [34], p. 488), deciputem scrie căundeM O³ −→G´= L · i 1 + M · j 1 + N · k 1 ,L = mg · (ξ3 00 · γ 0 − ξ2 00 · γ 00 ) M = mg · (ξ1 00 · γ 00 − ξ3 00 · γ)N = mg · (ξ2 00 · γ − ξ1 00 · γ 0 ) .Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sunt date de (3.48), (3.47). Teorema energieicinetice (3.28) în reperul R 0 =(O, −→ B ) (coincide cu sistemul de referinţăR) are formula·1dEc(S) 0 = d2 · ¡A 2¢¸· p 2 + B · q 2 + C · r= δWext 0 = G · d OG= −mg · k · d ¡ ξ1 0 · i + ξ2 0 · j + ξ3 0 · k ¢= −mg · k · ¡dξ1 · i + dξ 2 · j + dξ 3 · k ¢= −mg · dξ 3 .Am notat, sugestiv, cu ξ i , ξi, 0 ξi00 coordonatele centrului de masă G alsolidului S în reperele R, R 0 , R 00 . Evident, ξ i = ξi,unde1 0 6 i 6 3. Cumξ 3 = OG · k = k · (ξ1 00 · i 1 + ξ2 00 · j 1 + ξ3 00 · k 1 ),avemξ 3 = γ · ξ1 00 + γ 0 · ξ2 00 + γ 00 · ξ300(cf. [34], p. 489).Integrând în raport cu timpul t ecuaţiad·1dt 2 · ¡A· p 2 + B · q 2 + C · r 2¢ ¸+ mg · (γ · ξ1 00 + γ 0 · ξ2 00 + γ 00 · ξ3)00=0,ajungem la cea dintâi integrală primă algebrică înp, q, r, γ, γ 0 , γ 00 aproblemei,şi anumeA · p 2 + B · q 2 + C · r 2 +2· mg · (γ · ξ 001 + γ 0 · ξ 002 + γ 00 · ξ 003) =h 1 ,unde h 1 este o constantă care depinde de condiţiile iniţiale.