Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

2.1. CINEMATICA 63adevăr, prin derivare,σ 0 (q) = dq1 ∂σ(q)dq∂q 1 (q1 ,q 2 )+ dq2dq(q)∂σ∂q 2 (q1 ,q 2 ),q∈ I. (2.47)Însă ∂σ (q 1 ,q 2 ) × ∂σ (q 1 ,q 2 ) 6= 0în U, ceea ce ne permite să deducem că∂q 1 ∂q 2σ 0 (q) =0dacă şi numai dacă dq1 (q) =0.Afirmaţia anterioară afostdq(q),dq2dqjustificată.Pentru q 0 ∈ I arbitrar fixat, există, conform celor precizate înainte, unsubinterval J, J ∈ T I ,alluiI care îl conţine pe q 0 şi pentru care ζ(J)constituie o curbăsimplăînSF. Putem astfel extrapola noţiunea de tangentăîn M 0 la curba simplă ζ(J) spunând că dreapta ce trece prin M 0 şi are vectoruldirector σ 0 (q 0 ) este tangenta în M 0 la drumul neted ζ : I → E 3 . Din (2.47)rezultă că σ 0 (q) ∈ Sp({ ∂σ (q 1 ,q 2 ), ∂σ (q 1 ,q 2 )}). Rezultatul este valabil, în∂q 1 ∂q 2particular, pentru q = q 0 .Acum, dându-se numerele reale a, b care nu sunt nule simultan, existăε > 0 suficient de mic astfel încât (q 1 0 + a · q, q 2 0 + b · q) ∈ U pentru oriceq ∈ (−ε, ε) not= I. Drumulregularζ a,b : I → E 3 introdus prin formulaOM = σ(q 1 0 + a · q, q 2 0 + b · q) =σ(q), (2.48)unde M = ζ a,b (q), q ∈ I, are direcţia tangentei în punctul M 0σ 0 (0) = a · ∂σ∂q 1 (q1 0,q 2 0)+b · ∂σ∂q 2 (q1 0,q 2 0)(cf. [45], p. 181, [48], p. 44). În concluzie, mulţimea direcţiilor tangentelor înpunctul M 0 la drumurile netede regulare situate pe suprafaţa parametrizatăγ : U → E 3 , înzestrată cuoperaţiile cu vectori induse de operaţiile dinT R 3 ,alcătuieşte un spaţiu liniar 2−dimensional, notat T M0 S,acărui bază{ ∂σ (q∂q 0,q 1 0), 2 ∂σ (q 1 ∂q 0,q 1 0)} 2 poartă denumirea de bază naturală (cf. [44], p. 594).2Astfel, devine clar că T M0 S reprezintă spaţiul director al planului T M0 , decică planul tangent în M 0 la suprafaţa S este, prin definiţie, mulţimea tuturortangentelor în punctul M 0 la curbe simple situate pe suprafaţa S (cf. [48], p.44-45, [45], p. 180-181, [44], p. 593-594).Introducem matricea G(M 0 , γ) dată prinformulaG(M 0 , γ) =µ (∂σ) 2∂q 1∂σ· ∂σ∂q 1 ∂q 2∂σ∂q 1 · ∂σ∂q 2( ∂σ∂q 2 ) 2 ¯¯¯¯(q 1 0 ,q2 0 )