Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

2.1. CINEMATICA 55(cf. [39], p. 179). Mulţimea E fiind măsurabilă Lebesgue, mulţimea {x ∈E : f(x) >a} va fi, la rândul ei, măsurabilă Lebesgue, ceea ce arată căfuncţia f este măsurabilă pemulţimea E. Mărginirea funcţiei f va implicaintegrabilitatea sa.Săconsiderăm o celulă cu muchii finite [a 1 ,b 1 ; a 2 ,b 2 ; a 3 ,b 3 ) în E 3 .Evident,aceasta este o mulţime jordanianăşi au loc egalităţiledemaijos(cf.[68],p.213)Zλ(∆) = λ(∆) = dλ(A)ZZZ∆= dxdydz,∆ultima integrală (triplă) desemnând integrala Riemann tridimensională înconformitate cu [68], p. 202, 216-217. Aici, ∆ = {M ∈ E 3 : a 1 6 x 6 b 1 ,a 2 6 y 6 b 2 ,a 3 6 z 6 b 3 }.Fiind datăomulţime deschisă (în raport cu topologia metrică) şi mărginităG ⊂ E 3 , putem deduce cu ajutorul sumelor Lebesgue-Darboux (cf. [80], p.151), respectiv sumelor Darboux asociate integralei Riemann (cf. [80], p.154-155, [62], p. 315-317) căZZZZf(M)dλ(M) = f(x, y, z)dxdydz,G∆unde f : G → R este o funcţie continuă.Definiţia integralei Lebesgue poate fi extinsă înmodnaturallafuncţiilefinite aproape peste tot (a.p.t.) (adică, luând valori finite în toate puncteledomeniului de definiţie cu excepţia unei părţi ”neglijabile” a acestuia), caşi la mulţimile E măsurabile având măsura Lebesgue infinită (cf. [80],p.180). Astfel, fiind dată funcţia f : E → [0, +∞] măsurabilă şi finită a.p.t.,mărimeaZsup f(M)dλ(M), (2.39)e eunde e reprezintă opartemăsurabilă aluiE astfel încât λ(e) < +∞, vafi notată cu R f(M)dλ(M). Dacă R f(M)dλ(M) < +∞, atuncif esteE Eintegrabilă Lebesgue pe mulţimea E.Se cuvine observat faptul că această definiţie a integrabilităţii Lebesguese bazează esenţial pe proprietatea măsurii Lebesgue de a fi σ−finită. Întradevăr,spaţiul (E 3 ,d) fiind separabil (cf. [39],p. 114,problemaII.1.68,p.