Boman - Övningsuppgifter i Analys (en variabel) - OCR.pdf

Exempel 10. Sätt f(x) = 6x + 2 .
a) Bestäm ett tal o > O så att
- 8 -
If(x) -
1
f(2) I < -
10
för alla x för vilka Ix-21 < o .
b) Låt x o
positivt
vara ett godtYCkligt reellt tal och låt E vara ett godtyckligt
tal. Bestäm ett tal o > O (som får bero på x och E) så att
o
If(x) - f(x)1 < E
o
för alla x för vilka Ix-x I < o .
o
Lösning. a) If(x) - f(2)1 = 16(x-2)1 = 6Ix-21. Alltså är
If(X) - f(2)1 < 1/10 < > Ix-21 < 1/60. Vi kan således välja 0=1/60
(Observera att vilket som helst positivt o som är mindre än 1/60 också
duger, t.ex. 0=1/100 eller 0= 1/1000; kontrollera själv detta!)
b) If(x) - f(x )1 = 6lx-x I. Således gäller
o o
If(X) - f(xo)1 < E < > Ix-xol < E/6. Vi kan alltså välja o = E/6 .
(I detta fall beror således o på E men inte på x .)
o
Övning 19. Sätt f(x) = lfXT .
a) Bestäm ett tal o > O så att
If(x) f(O)1
1
= < - 10
för alla x för vilka lxi < o
b) Låt E vara ett godtyckligt positivt tal. Bestäm ett tal o > O så att
If(x) - f( O) I < E
för alla x för vilka lxi < o .
Övning 20. Sätt f(x) = 2 x + 2x - 3
a) Bestäm ett tal o > O sa • att
If(x) - f( O) I
1
< - 10
för alla x för vilka lxi < O.
b) Låt E vara ett gOdtYCkligt positivt tal. Bestäm ett tal o > O så att
If(x) - f( O) I < E
för alla x för vilka lxi < o.