Boman - Övningsuppgifter i Analys (en variabel) - OCR.pdf

- 89 -
Övning 20. Vilka av nedanstående samband är invarianta under skalförändringar?
a) x 3 = x 1 + x 2
b) x 3 = 2x 1 - x 2
c) x 3 = x 1 x 2
d) x 3 = II x 1 x 2 1
e)
2 2
x + x =
1 2
f) 1 -= .l (_1 + _1 )
x 2 x x
3 1 2
2 2 2
g) x
3 = x + x
1 2
2
h) x x =
3
1 2
x
3
1
Rotationsinvarians. Verkligt intressant blir frågan om invarians först då man
studerar flerdimensionella storheter, t.ex. lägen hos punkter i ett plan (el­
ler i en rymd). Låt ett rätvinkligt koordinatsystem (xy) vara givet i planet.
Inför ett nytt rätvinkligt koordinatsystem (Xlyl) med samma origo som förut,
men med nya axelriktningar på så sätt att xl-axeln bildar vinkeln y med
x-axeln, räknat i positiv led.
yl
y
Sambandet mellan nya och gamla koordinater kan då skrivas (eJ sid. 361)
(6)
eller
Xl
Xl = x eos y + y sin y
yl = - x sin y + y eos y .
(7) x = Xl eos y - yl sin y
y = Xl sin y + yl eos y
Formlerna (6) och (7) skiljer sig tydligen åt blott genom platsen för minusteck­
net. Detta är naturligt, eftersom byte av Xl mot x och yl mot y svarar
mot teckenändring hos y, och cos(-y) = eos y, sin(-y) = - sin y .
I analogi med det föregående sägs en funktion f av ett koordinat-par (x,y)
vara rotationsinvariant, om
x