Boman - Övningsuppgifter i Analys (en variabel) - OCR.pdf

- 24 -
Ibland är det praktiskt att förlänga ett bråk med ett uttryck som möjliggör
användning av konjugatregeln.
Exempel 25. Beräkna
lim
l1+x -
X..,.O x
Lösning. Förläng med /1+x + 1
/1+x - ( 1 +x) - 1 2
= =
x x( l1+x + 1) l1+x +
Gränsvärdet kan nu lätt beräknas och fås till 1/2
En vanlig metod att transformera ett givet gränsvärde till ett känt sådant
är att göra en variabelsubstitution, exempelvis sätta x - a = y för ett
lämpligt valt a. Vi illustrerar metoden med ett exempel.
Exempel 26. Beräkna gränsvärdet
l. Sln x
lm x(x-1I)
x-+7!
Lösning. Sätt x - 11 = y. Då går y mot O då x går mot 11,
alltså är det givna gränsvärdet lika med
lim
y""O
sin(Y+1I )
(Y+'If)Y
Men sin(Y+1I) = - sin y, alltså
sin(y+'If) =
(Y+1I)Y
sin y
y
Övning 47. Beräkna gränsvärdena
a)
b)
c)
d)
lim
x..,.o
lim
x""2
lim
x.-
l2+x - h-x
x
/X- /2
x - 2
x eos x
2x - 11
--..,. 1
y+'If
1
- 1 . - = - 1/'If ,
'If
då