Boman - Övningsuppgifter i Analys (en variabel) - OCR.pdf

- 21 -
Övning 43. Vilka av följande talföljder är begränsade och vilka är
a) (_2)2 d) d 3n 2
a =
n
= -
n
15n + 7 , n >
-
b)
n
b =
n
fi+n2"
e)
2
n
e =
n
( 1 ,2) n
n >
c) c = n - f) f = -+
n n n
2 n
( -1 )n
Övning 44. a) Vilka av följderna i Exempel 22 är konvergenta?
b) Samma fråga för följderna i Övning 43.
En oändlig serie
kallas konvergent, om talföljden
s =
n
n
1: a k ,
k=1
n=1,2, ...
av alla seriens partialsummor utgör en konvergent talföljd (eJ sidorna
75, 76; NE del 3, kap. 4.5). Gränsvärdet
(2) s = lim s n
n_
kallas då för seriens summa, och man skriver
.,
s = 1:
k=1
(Observera således att innebörden av (3), vilken i och för sig inte är
n
monotona?
självklar, är fastlagd av (1), (2) och definitionen av gränsvärde för tal­
följder. )
Exempel 23. Beräkna summan av serien
.,
Lösning.
summan aven
1:
k=()
(Jfr NE del 3, kap. 4.5 Exempel 1.) Vi känner ett uttryck för
ändlig geometrisk serie,
1 __ 1_
n 1 3n + 1
s n = 1: - = -----'''--.k
1
k=O 3 1 - 3"
i detta fall
= 2. (1 __
1_)
2 3n+1
3
15