Boman - Övningsuppgifter i Analys (en variabel) - OCR.pdf

Kap. 3. 8 - 3. 11
- 65 -
Observera att substitutionsmetoden kan användas på två något olika sätt, som
visas i nedanstående exempel.
Exempel 8. Beräkna
4
a) f !:iC( 1 + x)dx
1
1 3
b) f x 2 e x dx
O
Lösning. a) Sätt IX = y ,
x = 1 < > y = och x = 4
b) Sätt x 3 = y ,
2 2
f y( 1 + Y )2ydy
1
varför integralen övergår l
2
= 2f
1
2
varav x = y
< > y = 2
2
Y dy +
dx = 2ydy. Vidare fås
Integralen övergår sålunda i
2
varav 3x dx = dy , x=Q < > y=O,x=1< >y=1,
1
f e Y .1 dy = (e - 1) 13 .
O 3
Givetvis kan substitutionsmetoden i dessa bägge varianter också användas för
att beräkna en primitiv funktion till en given funktion f, dvs en funktion F
sådan att F' = f
Övning 55. Sök en primitiv funktion till var och en av funktionerna
a) x sin x 2
b) x 2 A + x 3
c) x 3 /( 1
4
+ x )
d) xix +
2 2
e) x/(1 + x )
f)
. 3
Sln x eos x
g) elXllX
h) eXIlex +
i) 4x 3 + 2x
4 2
x + x + 1
j)
x + 2