xxıv. ulusal matematik sempozyumu - Uludağ Üniversitesi

SONSUZ BOYUTLU DİNAMİK SİSTEMLERİNSONLU BOYUTLU DAVRANIŞLARIO. Alp EdenBoğaziçi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, 34342 Bebek/İstanbuleden@boun.edu.trÖZETBu konuşma dizisinde bazı kısmi diferansiyel denklemlerin başlangıç-sınır değeri problemlerinedinamik sistemler teorisinin getirdiği bir yaklaşımdan söz edeceğim. Özelikle parabolikdenklemlerden disipatif olanlarının uzun zaman davranışlarına evrensel çekenler aracılığı ileaçıklama getirme projesi Mané’nin 1970li yılları sonunda yaptığı çalışmalarla başladı.[6]Evrensel çekenin Hausdorff boyutunun sonlu olması bu sistemlerin adi bir diferansiyel denklemsistemi cinsinden yeniden ifade edilip edilemiyeceği sorusunu doğurdu. Özelikle düşük boyutluadi diferansiyel denklemlerin uzun zaman davranışı ile ilgili elimizdeki bilgilerin çokluğubenzer bir ortamın kısmi diferansiyel denklemler için de kurulup kurulamıyacağınısorgulanmasına yol açtı.[10] Bu çalışmaları yaparken alttan alta iki boyutlu Navier-Stokesdenklemlerinin (şıkıştırılmaz hali için) sınırlı bir bölgede başlangıç-sınır değer problemi ile ilgiligelişmeler öncü rolü oynadı. Acaba evrensel çekenle ilgili elde ettiğimiz neticeler törbülansproblemine ışık tutabilir miydi? Bu soru hala ilginçliğini koruyor, her ne kadar bunu çözmeninmaddi bir getirisi olmayacaksa da. (Çünkü Clay problemi 3-boyutlu Navier-Stokes denklemi ileilgili) Sonlu boyutlu dinamik tanımlama çabası “eylemsiz çokkatlı”nın (inertial manifold)tanımlanması ile hız kazandı. Acaba Navier-Stokes denklemi için böyle bir çokkatlınınvarlığından söz edilebilir miydi? 1985 yılında Foias, Sell ve Temam [5] tarafından ortaya atılanbu kavram ne yazık ki ikiden fazla boyutlu uzaylarda yaşayan dinamik sistemlere efektif birbiçimde uygulanamadı. Mallet-Paret, Sell ve Shao’nun [7] yüksek uzay boyutlu reaksiyondifuzyondenklemleri için ürettikleri karşıt örnekler bu teorinin daha çok bir uzay boyutundakifiziksel problemlere uygun olduğunu gösterdi. O zamandan beridir de 2 uzay boyutlu Navier-Stokes denklemleri için eylemsiz çokkatlının varlığı açık bir problem. 1990 yılında Foias,Nicolaenko ve Temam ile birlikte daha zayıf bir kavram olan “üssel çeken” kavramını ortayaattık.[1] Üssel çeken üzerinde bir dinamik tanımlama çabasına da 1994 yılında yayımladığımızbir kitapta (10. bölümde) yer verdik.[2] 2-boyutlu Navier-Stokes denklemleri için üsselçekenlerin varlığı bu teorinin en önemli avantajlarından birini teşkil ediyor. Sonlu fraktalboyutlu bir üssel çekenin varlığı ne yazık ki sonlu boyutlu dinamik sistem tanımlama projesindebelki de önemsiz bir adım çünkü ayni tür dinamik sistem zaten evrensel çeken üzerinde detanımlanabiliyor. Bu soru en genel biçimde “Acaba evrensel çekeni düzgün bir çokkatlının içinedinamik özeliklerini de koruyarak gömebilir miyiz?” şeklinde ortaya konulabilir. Mallet-Paret,Sell ve Shou daha sonra da Romanov’un geliştirdiği karşıt örnekler bazı durumlarda böyledinamik özelikleri koruyan bir gömmenin olamıyacağını gösteriyor. ([7],[11]) Bu karşıtörneklerin hiçbiri tam anlamı ile fiziksel problemlerden gelen sonsuz boyutlu dinamik sistemlerolmadığı için bu soru ile ilgili henüz tatmin edici bir çözüme ulaşılmış değil. Son yıllarda Olson,Robinson ([8],[9]) ve çalışma arkadaşlarının da çabaları ile bu açık probleme yeni bir yaklaşımgeldi. Yeni bir boyut kavramı, Assouad boyutu, yardımı ile bu dinamik sistemin uygun birbiçimde yazılabileceği tezi öne sürüldü. O zaman orijnal soru “Acaba evrensel çekenlerinAssouad boyutu sonlu mu?” sorusuna dönüştü.Dizi konuşmalarıma konuyu genel hatları ve tarihçesi ile tanıtan bir konuşma ile başlıyacağım.İlk konuşmayı konuya ilgisi olmayan insanlarında anlayabileceği bir biçimde yapacağım. İkincikonuşmam daha matematiksel, temel teoremleri ve tanımları bu konuşmamda vereceğim, bol23