Diferencialne enačbe za FM

104 12. Laplacova enačba
odvisen od robnih pogojev. Ponovimo osnovne formule:
F (f) (z) = 1
√
2π
2
Fs (f) (z) =
π
2
Fc (f) (z) =
π
+∞
−∞
∞
0
∞
0
f(x)e −izx dx, f(x) = 1
√
2π
2
f(x) sin zx dx, f(x) =
π
2
f(x) cos zx dx, f(x) =
π
+∞
−∞
∞
0
∞
0
F (f) (z)e izx dz,
Fs (f) (z) sin zx dz,
Fc (f) (z) cos zx dz.
Predpostavili smo, da sta tako funkcija f kot njena transformiranka v L1 . Pri
računanju inverzne transformiranke si pogosto pomagamo s formulo
F (f ∗ g) (z) = F (f) (z) F (g) (z), (f ∗ g)(x) = 1
√ 2π
+∞
ali pa z izrekom o residuih. Drugi odvodi se transformirajo takole:
−∞
F f ′′ (z) = −z 2 F (f) (z),
′′
Fs f
2
(z) =
π f(0)z − z2Fs (f) (z),
′′
Fc f
2
(z) = −
π f ′ (0) − z 2 Fs (f) (z).
f(x − u)g(u) du
Pri tem smo predpostavili, da je lim f(x) = 0 in lim
x→±∞ x→±∞ f ′ (x) = 0, kar je
recimo res v primeru, ko f, f ′ , f ′′ ∈ L1 .
Primer. Naj bosta a, b > 0. Reˇsimo enačbo
△u = 0
na območju x ∈ R, 0 ≤ y ≤ a pri robnih pogojih
u(x, 0) = e −b|x| , u(x, a) = 0.
Reˇsitev. Uporabimo Fourierovo transformacijo
v(z, y) = 1
√ 2π
+∞
Transformirana enačba enačba se glasi
−∞
u(x, y)e −izx dx.
−z 2 v(z, y) + vyy = 0,