Diferencialne enačbe za FM

4. Eksistenca in enoličnost 37
je za reˇsitev dobil povsod divergentno vrsto y = (k − 1)!xk . Probleme s
konvergenco je za analitične f reˇsil Cauchy, za gladke pa Picard, ki pa je
uporabil povsem drugo tehniko. Njegov dokaz bazira na naslednji ideji.
Iskani difeomorfizem lahko dobimo tudi tako, da parametriziramo tokovnice
polja, torej reˇsitve diferencialne enačbe y ′ = f(x, y) pri začetnem pogoju
y(x0) = y0. Spomnimo se na Eulerjevo metodo iskanja reˇsitev.
Če začnemo
z začetnim pribliˇzkom y0, dobimo točko y1 = y0 + (x − x0)f(x0, y0). Prvi del
reˇsitve predstavlja daljica med tema dvema točkama. Poglejmo na ta postopek
s staliˇsča funkcij. Začnemo s konstantno funkcijo y0 in dobimo premico skozi
(0, y0) in (x, y1). Ta premica pa ima enačbo y0 + x
x0 f(t, y0) dt. Potem v isto
enačbo vstavimo naˇso premico in dobimo novo funkcijo itd. Formalizirajmo
zdaj ta postopek.
Začnimo s konstanto ϕ0(x) = y0. Če to funkcijo vstavimo v diferencialno
enačbo in integriramo, dobimo
x
A(ϕ0)(x) := y0 + f(t, ϕ0(t)) dt.
Dobljena funkcija zadoˇsča začetnemu pogoju, njen odvod po x v x0 pa je enak
f(x0, ϕ0(x0)), torej ima v točki x0 pravi tudi odvod. Naj bo ϕ1 := A(ϕ0)
in izračunajmo ϕ2 = A(ϕ1). Kot prej funkcija ustreza začetnemu pogoju in
ϕ ′ 2 (x) = f(x, ϕ1(x)) (odvod v x0 je tudi pravi). Če bi bila funkcija ϕ2 blizu ϕ1,
bi dobili pribliˇzno pravo reˇsitev. Postopek ponavljamo in dobimo zaporedje
funkcij, ki ustreza
ϕ ′ n+1(x) = f(x, ϕn(x)), n ∈ N0. (4.1)
Denimo, da zaporedje funkcij ϕi = A i (ϕ0) konvergira k funkciji ϕ. Ko v
enačbah (4.1) poˇsljemo n → ∞, dobimo enačbo
x0
ϕ ′ (x) = f(x, ϕ(x)), (4.2)
torej ϕ reˇsi diferencialno enačbo pri danem začetnem pogoju. Edini problem
je konvergenca. Dokazati moramo, da je zaporedje Ai (ϕ0) Cauchyjevo, kar
pomeni, da morajo biti norme razlik An (ϕ0) − Am (ϕ0) majhne. Ocenimo
najprej normo razlike za poljubno funkcijo ψ :
A 2 x
(ψ)(x) − A(ψ)(x) = (f(t, A(ψ(t))) − f(t, ψ(t))) dt.
Če je f (pri fiksnem x) Lipschitzova na y, velja
x0
|f(t, A(ψ(t)) − f(t, ψ(t))| ≤ k(t)|A(ψ(t)) − ψ(t)|,