Diferencialne enačbe za FM

4. Eksistenca in enoličnost 39
[x0, x1] za nek x1 > x0, potem lahko izberemo x dovolj blizu x0 in doseˇzemo,
da je x
k < 1.
x0
Dokazali smo, da bo zaporedje ϕi konvergentno in bo imelo limito ϕ.
Dokazali smo pravzaprav več. Zaporedje An (ψ) bo konvergiralo k reˇsitvi
tudi za (nekatere) druge funkcije ψ, saj je An (ψ)(x0) = y0 in An (x0) ′ =
f(x0, An−1ψ(x0)) = f(x0, y0) za n ≥ 2.
Dokaˇzimo ˇse enoličnost. Naj bosta ϕ in ψ različni reˇsitvi diferencialne
enačbe, ki ustrezata istemu začetnemu pogoju (x0, y0) in interval okoli x0
tako majhen, da bo K(x) < 1. Ker je A(ϕ) = ϕ in A(ψ) = ψ, lahko ocenimo
ψ − ϕ∞ = A(ψ) − A(ϕ)∞ ≤ K(x)ψ − ϕ∞,
kar je mogoče le, če je norma razlike enaka 0, torej sta funkciji enaki.
Dokaz bi lahko formulirali tudi kot iskanje fiksne točke preslikave A na
primernih funkcijskih prostorih.
Za zaključek si poglejmo, kaj da ta metoda pri diferencialni enačbi y ′ = y
in začetnem pogoju y(0) = y0.
ϕ0 = y0,
ϕ1 = y0 +
ϕ2 = y0 +
ϕ3 = y0 +
.
x
y0 dt = y0 + y0x = y0(1 + x),
0 x
y0(1 + t) dt = y0(1 + x + x
0
2 /2),
x
0
y0(1 + t + t 2 /2) dt = y0(1 + x + x 2 /2 + x 3 /3!),
ϕn = y0(1 + x + x 2 /2 + . . . + x n /n!)
.
Dobimo razvoj reˇsitve ϕ v Taylorjevo vrsto:
ϕ(x) = y0
∞
0
x n
n! = y0 Exp(x).
Iz konstrukcije je tudi očitno, da bi bile reˇsitve enačbe y ′ = ay pri začetnem
pogoju y(0) = y0 enake ϕ(x) = y0 Exp(ax). ♦
Povzemimo zagodbo o dokazu v