Diferencialne enačbe za FM

40 4. Eksistenca in enoličnost
Izrek 4.5. (Lokalni eksistenčni izrek). Naj bo y ′ = f(x, y) diferencialna
enačba in f ∈ C((0, a) × (0, b)), f Lipschitzova na y s koeficientom k(x),
ki je lokalno integrabilen na (0, a). Potem obstaja natanko ena reˇsitev enačbe
pri začetnem pogoju (x0, y0) ∈ (0, a) × (0, b).
Posledica 4.6. Naj bo v gladko polje smeri na D ⊂ R 2 . Potem obstaja skozi
vsako točko (x0, y0) ∈ D integralska krivulja, ki je ena sama v naslednjem
smislu: če se dve integralski krivulji sekata v (x0, y0), se ujemata ˇse na okolici
(x0, y0).
Velja tudi globalna verzija izreka, ki pa je ne bomo dokazali.
Izrek 4.7. (Globalni eksistenčni izrek). Naj bo y ′ = f(x, y) diferencialna
enačba in f ∈ C([0, a] × R), f Lipschitzova na y s koeficientom k(x), ki je
integrabilen na [0, a]. Potem obstaja natanko ena reˇsitev enačbe pri začetnem
pogoju (x0, y0) ∈ [0, a] × R in je definirana na [0, a].
2. Gladkost
Pri diferencialnih enačbah je pomembno tudi vpraˇsanje, kaj se zgodi z
reˇsitvijo, če začetne podatke malo premaknemo. Zaˇzeleno bi bilo, da se pri
majhnih spremembah začetnega pogoja tudi reˇsitve v bliˇzini začetnega pogoja
malo spremenijo. Označimo s ϕ(x, x0, y0) reˇsitev diferencialne enačbe y ′ =
f(x, y) pri začetnem pogoju (x0, y0). Kot posledico osnovnega izreka dobimo
Izrek 4.8. Reˇsitev enačbe y ′ = f(x, y) za gladko f je gladko odvisna od
začetnih pogojev. Natančneje, funkcija ϕ(x, s, t), kjer je f razreda C r , obstaja
in je C r funkcija v okolici (x0, x0, y0).
Dokaz. Za enačbo z ′ = 0 je to očitno, ostale pa lahko s C r difeomorfizmom
prevedem na take. ♦
Podobno velja, če v diferencialni enačbi nastopa kak dodaten parameter,
recimo a, y ′ = f(x, y, a), kjer a teče po neki odprti mnoˇzici v R k .
Izrek 4.9. Naj bo f gladka v vseh spremenljivkah. Reˇsitev enačbe
y ′ = f(x, y, a)
je gladko odvisna od začetnih pogojev, x in a.