Diferencialne enačbe za FM

16 1. Primeri navadnih diferencialnih enačb
limiti doseglo β, če pa je y0 > β, bo bo ˇstevilo osebkov v populaciji padalo in
v limiti doseglo β.
Ilustrirajmo naˇso teorijo ˇse s primerom. Poglejmo, kako so reˇsitve odvisne
od c in začetne količine za primer a = 3 in b = 1. Začetno vrednost y(0)
označimo z y0. Naj bo c > 9/4. Potem je reˇsitev enaka
Za c = 9/4 dobimo
y(t) = −2 2y − 3
√ (arctg √ − arctg
4c − 9 4c − 9 2y0 − 3
√ ).
4c − 9
y(t) = (9t − 4y0 − 6ty0)/(−4 + 6t − 4ty0).
in za c < 9/4
2
y(t) = √ log
(−2y + 3 −
9 − 4c
√ 9 − 4c)(−2y0 + 3 + √ 9 − 4c)
(−2y0 + 3 − √ 9 − 4c)(−2y + 3 + √
9 − 4c)
Slike pripadajočih polj in smeri so prikazane spodaj (slike 1.9,1.10,1.11).
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8
(a)
6
5
4
3
2
1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Slika 1.9: Polje smeri in reˇsitve enačbe y ′ = 3y − y 2 − 3
Soroden primer je ribolovna enačba z relativnimi kvotami, to pomeni, da
je stopnja uliva enaka cy. Enačba ima potem obliko
(b)
y ′ = ay − by 2 − cy, a, b, c > 0.
1.1 Analiziraj ribolovno enačbo z relativnimi kvotami pri a = 3, b = 1.