Diferencialne enačbe za FM
Diferencialne enačbe za FM
Diferencialne enačbe za FM
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
11. LDE 2. reda v dveh spremenljivkah<br />
1. Kanonična forma<br />
Definicija 11.1. Sploˇsna oblika linearne diferencialne <strong>enačbe</strong> drugega reda je<br />
Lu = auxx + 2bux,y + cuyy + dux + euy + f = 0,<br />
kjer so a, b, . . . , f gladke funkcije.<br />
Prizemimo, da a, b, c nimajo skupnih ničel in si oglejmo operator, ki ga sestavljajo<br />
členi, kjer odvodi nastopajo z najviˇsjim redom<br />
L0u = auxx + 2bux,y + cuyy.<br />
Imenuje se glavni del operatorja L. Izkaˇze se, da so glavne lastnosti reˇsitev<br />
določene z glavnim delom operatorja, natančneje z diskriminanto ∆ = ∆(L) =<br />
b 2 − ac.<br />
Poskusimo z uvedbo novih koordinat enačbo prevesti na preprostejˇso obliko.<br />
Naj bosta ξ in η novi spremenljivki. Zapiˇsimo glavni del transformirane<br />
<strong>enačbe</strong>.<br />
ux = uξξx + uηηx,<br />
uy = uξξy + uηηy,<br />
ux,x = uξ,ξξ 2 x + 2uξηξxηx + uηηη 2 x + uξξxx + uηηxx,<br />
uxy = uξ,ξξxξy + uξη(ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy,<br />
uy,y = uξ,ξξ 2 y + 2uξηξyηy + uηηη 2 y + uξξyy + uηηyy.<br />
Ko to vstavimo v operator L(u) dobimo linearno diferencialno enačbo drugega<br />
reda<br />
L(u) = Auξξ + 2Buξη + Cuηη + Duxi + Euη + F = 0,
Change language