Diferencialne enačbe za FM

5. Sistemi diferencialnih enačb 43
ki je lokalno integrabilen na (0, a). Potem obstaja natanko ena reˇsitev enačbe
pri začetnem pogoju (x0, y0) ∈ (0, a) × (0, b) n .
Velja tudi globalna verzija:
Izrek 5.3. (Globalni eksistenčni izrek). Naj bo y ′ = f(x, y) sistem linearnih
diferencialnih enačb in f ∈ C([0, a] × R n ), f Lipschitzova na y s koeficientom
k(x), ki je integrabilen na [0, a]. Potem obstaja natanko ena reˇsitev enačbe pri
začetnem pogoju (x0, y0) ∈ [0, a] × R n .
2. Sistemi linearnih diferencialnih enačb
Definicija 5.4. Sistem n linearnih diferencialnih enačb prvega reda je sistem
oblike
y ′ = A(x)y + b(x), (5.1)
kjer je A : [0, a] → R n×n matrična funkcija, b : [0, a] → R n pa vektorska.
Če sta A in b zvezni, je desna stran Lipschitzova na y, zato ima enačba pri
danem začetnem pogoju eno samo reˇsitev, ki je definirana na [0, a]. Struktura
prostora reˇsitev je enaka kot pri linearni diferencialni enačbi 1.reda.
Izrek 5.5. Naj bo yp reˇsitev sistema (5.1). Potem je vsaka druga reˇsitev
oblike y = yp + yh, kjer je yh reˇsitev homogenega sistema
y ′ = A(x)y. (5.2)
Prostor reˇsitev homogene enačbe je n-dimenzionalen vektorski prostor, prostor
reˇsitev nehomogene enačbe pa n-dimenzionalen afin prostor.
Dokaz. Z enakim računom, kot pri dokazu trditev 3.3. in 3.5. preverimo,
da velja y = yp + yh in da je prostor reˇsitev homogenega sistema vektorski
prostor. Dokazati moramo, da je n-dimenzionalen. Po izreku 4.5. obstajajo
reˇsitve yi homogenega sistema, ki ustrezajo začetnim pogojem yi(0) = ei, kjer
je ei i-ti enotski vektor. Te reˇsitve sestavimo v matriko, ki jo imenujemo
matrika Wronskega:
W (x) = [y1, y2, . . . , yn].
Ker je W (0) = I, je w(0) = 1, kjer je w(x) := det W (x) determinanta
Wronskega. Zaradi zveznosti reˇsitev in determinante je determinanta Wronskega
neničelna ˇse na neki okolici točke 0, kar pomeni, da reˇsitve sestavljajo