Diferencialne enačbe za FM

8. Laplacova transformacija 69
Dokaz. Za prvo enakost enkrat integriramo per partes, za drugo pa odvajamo
po z. ♦
Primeri.
1. Reˇsimo sistem y ′′ − 3y ′ + 2y = e 3t pri pogojih y(0) = 1 in y ′ (0) = 0. Z
Laplacovo transformacijo dobimo
Izrazimo Y :
Y =
z 2 Y − z − 3(zY + −1) + 2Y = 1
z − 3 .
1
(s − 1)(s − 2)(s − 3) +
s − 3
(s − 1)(s − 2) .
Razcepimo na parcialne ulomke in dobimo
Inverzna transformiranka je
Y = 5 1
2 s − 1
− 2
s − 2
1 1
+
2 s − 3 .
y = 5 1 t
− 2e
2 e
2t + 1
2 e3t .
2. Reˇsimo sistem diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti
y ′ (t) = −11y(t) + 6z(t), y(0) = 1,
z ′ (t) = −18y(t) + 10z(t), z(0) = 2.
Naj bo L (y) (u) = Y in L (z) (u) = Z. Če uporabimo Laplacovo transformacijo
na obeh enačbah, dobimo sistem enačb uY − 1 = −11Y + 6Z, uZ − 2 =
−18Y + 10Z. Reˇsitvi sistema sta
Y = 1
2
, Z =
u − 1 u − 1 .
Inverzni transformiranki sta y = e t , z = 2e t .
Definicija 8.5. Konvolucija funkcij f, g : R + → R je definirana s formulo
x
(f ∗ g)(x) = f(x − t)g(t)dt.
0