Diferencialne enačbe za FM

10. Sturm - Liouvillova teorija 87
s skalarnim produktom (f, g) = a
0 f(x)g(x) dx. Res, za z, y ∈ DL je
a
(Ly, z) = −y ′′ (x)z(x) dx = −y ′′
a
a
z
+
0
0
0
y ′ (x)z ′ (x) dx = (y ′ , z ′ ).
Zaradi simetrije je tudi (Lz, y) = (y ′ , z ′ ), zato je operator simetričen. Ker
so lastni podprostori simetričnih operatorjev, ki pripadajo različnim lastnim
vrednostim, ortogonalni, so lastne funkcije ortogonalne, saj so lastni podprostori
enodimenzionalni.
Pravkar obravnavani lastni problem je poseben primer Sturm - Liouvillovega
robnega problema.
Definicija 10.1. Strum-Liouvillov problem je naslednji robni problem. Poiˇsči
lastne funkcije diferencialnega operatorja
Ly = p(x)y ′′ + q(x)y ′ + r(x)y
pri danih robnih pogojih Ba(y) = Bb(y) = 0. Za definicijsko območje operatorja
L vzamemo
DL = {f ∈ C 2 ([a, b]), Ba(f) = Bb(f) = 0.}.
Če je q = p ′ , imenujemo operator formalno simetričen in ga lahko zapiˇsemo
v obliki Ly = (py ′ ) ′ + ry.
Naj bodo robno pogoji oblike
Ba(y) = αy(a) − βy ′ (a) = 0, Bb(y) = γy(b) + δy ′ (b) = 0, (10.1)
kjer je |α| + |β| > 0, |γ| + |δ| > 0. Če je
Ly = −(py ′ ) ′ + ry
in p > 0 na [a, b], imenujemo problem regularen Sturm-Liouvillov problem. Če
to ne drˇzi ali je interval neskončen, imenujemo problem neregularen. Če so
robni pogoji oblike 10.1 in je ˇse α, β, γ, δ ≥ 0, pravimo, da so fizikalni. Sturm-
Louvillovem problemu je periodičen, če imajo p, q, r periodo b − a in so robni
pogoji periodični,
B1(y) = y(a) − y(b) = 0, B2(y) = y ′ (a) − y ′ (b) = 0.
Opomba. Če so robni pogoji oblike 10.1, to geometrijsko pomeni, da so v
krajiˇsču a za y ∈ DL vektorji (y(a), y ′ (a)) proporcionalni (enako za b).