Diferencialne enačbe za FM
Diferencialne enačbe za FM
Diferencialne enačbe za FM
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
72 9. Parcialne diferencialne <strong>enačbe</strong><br />
Primeri.<br />
1. Toplotna in Laplacova enačba. Toplotna ali difuzijska enačba je enačba<br />
kjer je<br />
ut = c 2 △u,<br />
△u =<br />
n<br />
1<br />
uxixi<br />
Laplacov diferencialni operator. Opisuje prevajanje toplote. Stacionarna<br />
porazdelitev toplote pa ustre<strong>za</strong> Laplacovi enačbi<br />
△u = 0.<br />
Reˇsitve te <strong>enačbe</strong> imenujemo harmonične funkcije. Enačbo<br />
imenujemo Poissonova enačba.<br />
△u = f<br />
2. Navier-Stokesove <strong>enačbe</strong>. To so <strong>enačbe</strong>, ki opisujejo gibanje tekočin<br />
v prostoru. Če je u hitrost tekočine in p tlak, potem dobimo <strong>za</strong> nestisljive<br />
tekočine z gostoro ρ enačbi<br />
ρ(ut + (u · ∇)u) = µ△u − ∇p, ∇u = 0.<br />
Oznaka ∇ pomeni divergenco, µ pa je oznaka <strong>za</strong> viskoznost. Navier-Stokesove<br />
<strong>enačbe</strong> so temelj hidrodinamike. Uporabljajo jih npr. pri projektiranju letal,<br />
ladij, vozil, črnila v tiskalnikih itd. En večjih, trenutno ˇse nereˇsenih problemov,<br />
je korektnost Navier-Stokesovega sistema.<br />
3. Valovna enačba. Valovna ena1ba je enačba oblike<br />
utt = c 2 △u + f.<br />
Opisuje valovanje strune, membrane, zraka pri majhnih amplitudah. Reˇsitev<br />
<strong>enačbe</strong> pri eni krajevni spremenljivki je prispeval Jean D’Alembert (1717 -<br />
1783).<br />
Če opazujemo valovanje v plitvi vodi, dobimo nekoliko drugačno diferencialno<br />
enačbo. Korteweg - De Vriesova enačba<br />
ut + 6uux + uxxx = 0,
Change language