Diferencialne enačbe za FM

14. Valovna enačba 123
kjer funkciji F in G dobimo tako, da funkciji f in g liho nadaljujemo iz [0, l]
na [−l, l] nato pa periodično s periodo 2l na celo realno os. V primeru (a)
dobimo
fn = 8h nπ
sin
(nπ) 2 2 , gn = 0,
v primeru (b) pa
fn = 0, gn = 2
nπ (1 − (−1)n ) cos nπh
.
l
2. Reˇsimo enačbo utt = △u za vpeto membrano [−1, 1] 2 , pri pogoju
u(x, y, 0) = (1 − x 2 )(1 − y 2 ), ut(x, y, 0) = 0.
Reˇsitev.
u(x, y, t) =
∞
3 3 2
2
16
(−1)
(2l + 1)π (2k + 1)π
l,n=0
l+k ·
πt (2l + 1)πx (2k + 1)πy
cos (2k + 1) 2 + (2l + 1) 2 cos
cos
.
2
2
2
3.2 Polarne koordinate.
Primer. Naj bosta f(r) in g(r) dani funkciji in a, c > 0 konstanti. Reˇsimo
enačbo
utt = c 2 △u
na krogu z radijem a pri robnem pogoju
in pri začetnih pogojih
Podrobno obravnavajmo primera
u(a, t) = 0
u(r, 0) = f(r), ut(r, 0) = g(r).
(a) f(r) = h(1 − r2
a 2 ), g(r) = 0, kjer je h > 0 konstanta,
(b) f(r) = 0, g(r) = v0χ [0,b](r), kjer sta v0 > 0 in 0 < b ≤ a konstanti.