Loengu slaidid

X on normaaljaotusega 

Lause 1 

Kui x ∼ N(a,σ), siis 

1. ¯x ∼ N(a,σ/ √ n) ja √ n(¯x − a)/σ ∼ N(0, 1); 

2. ¯x jas 2 on sõltumatud juhuslikud suurused; 

3. (n − 1)s 2 /σ 2 on χ 2 –jaotusega vabadusastmete arvuga n − 1.

Juhusliku vektori (X , Y )arvkarakteristikute 

punkthinnangud 

1. juht, kui EX ja EY on teada. Siis 

Kx,y 

∗∗∗ = 1 n 

(x i − EX )(y i − EY ) 

n 

i=1 

on cov(X , Y ) nihketa punkthinnang.




Kx,y 

∗∗∗ = 1 n 

(x i − EX )(y i − EY ) 

n 

i=1 

on cov(X , Y ) nihketa punkthinnang. 

2. juht, kui EX ja EY ei ole teada. Siis 

Kx,y ∗ = 1 n 

(x i − ¯x)(y i − ȳ) 

n − 1 

i=1 

on cov(X , Y ) nihketa punkthinnang.Kehtib võrdus 

Kx,y ∗ = 

n (xy − ¯xȳ), 

n − 1 xy = 1 n 

x i y i . 

n 

i=1




Kx,y 

∗∗∗ = 1 n 

(x i − EX )(y i − EY ) 

n 

i=1 

on cov(X , Y ) nihketa punkthinnang. 

2. juht, kui EX ja EY ei ole teada. Siis 

Kx,y ∗ = 1 n 

(x i − ¯x)(y i − ȳ) 

n − 1 

i=1 

on cov(X , Y ) nihketa punkthinnang.Kehtib võrdus 

Kx,y ∗ = 

n (xy − ¯xȳ), 

n − 1 xy = 1 n 

x i y i . 

n 

Korrelatsioonikordaja punkthinnang defineeritakse valemiga 

r ∗ x,y = K ∗ x,y 

s x s y 

. 

i=1

Näide. 

Olgu antud juhusliku vektori (X , Y )valim 

x i 28 18 11 12 20 27 23 28 42 30 18 30 

y i 10 19 11 14 25 26 30 36 25 30 32 21

Näide. 


x i 28 18 11 12 20 27 23 28 42 30 18 30 

y i 10 19 11 14 25 26 30 36 25 30 32 21 

¯x = 1 12 

12 

i=1 

x i = 23, 92, ȳ = 1 

12 

12 

i=1 

y i = 23, 25.

Näide. 


x i 28 18 11 12 20 27 23 28 42 30 18 30 

y i 10 19 11 14 25 26 30 36 25 30 32 21 

¯x = 1 12 

12 

i=1 

x i = 23, 92, ȳ = 1 

12 

12 

i=1 

y i = 23, 25. 

s 2 x = 76, 27, s x =8, 73, s 2 y = 70, 75, s y =8, 41.

Näide. 


x i 28 18 11 12 20 27 23 28 42 30 18 30 

y i 10 19 11 14 25 26 30 36 25 30 32 21 

¯x = 1 12 

12 

i=1 

x i = 23, 92, ȳ = 1 

12 

12 

i=1 

y i = 23, 25. 

s 2 x = 76, 27, s x =8, 73, s 2 y = 70, 75, s y =8, 41. 

K ∗ x,y = 26, 75, r ∗ x,y = 

26, 75 

=0, 36. 

8, 73 · 8, 41

Vahemikhinnagud 

Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α ∗ = α ∗ (x 1 ,...,x n ) 

parameetri α hinnang. Kui ε>0 on kindel suurus, siis vahemiku 

(α ∗ − ε, α ∗ + ε) otspunktid on samuti juhuslikud suurused.




(α ∗ − ε, α ∗ + ε) otspunktid on samuti juhuslikud suurused. 

P(α ∈ (α ∗ − ε, α ∗ + ε)) = β. 

β – usaldusnivoo, 

l β =(α ∗ − ε, α ∗ + ε) –usaldusvahemik 

α ∗ − ε ja α ∗ + ε –usalduspiirid





P(α ∈ (α ∗ − ε, α ∗ + ε)) = β. 



α ∗ − ε ja α ∗ + ε –usalduspiirid 

Kui 

P(α α ∗ − ε) =P(α α ∗ + ε) = 1 − β , 

2 

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga.





P(α ∈ (α ∗ − ε, α ∗ + ε)) = β. 



α ∗ − ε ja α ∗ + ε –usalduspiirid 

Kui 

P(α α ∗ − ε) =P(α α ∗ + ε) = 1 − β , 

2 

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. 

Vasakpoolne usaldusvahemik (−∞,α v ) usaldusnivooga β 

määratakse seosest P(α α p )=β.

Üldkogumi keskväärtuse usaldusvahemik 

¯x = 1 n 

n 

i=1 

x i , E¯x = EX , D¯x = σ2 

n . 

Tsentraalse piirteoreemi kohaselt on ¯x asümptootiliselt normaalne, 

st. kui n on küllalt suur, siis ¯x on ligikaudu normaaljaotusega 

parameetritega EX ja √ D¯x = σ/ √ n.


¯x = 1 n 

n 

i=1 

x i , E¯x = EX , D¯x = σ2 

n . 



parameetritega EX ja √ D¯x = σ/ √ n. 

P(EX ∈ (¯x − ε β , ¯x + ε β ))


¯x = 1 n 

n 

i=1 

x i , E¯x = EX , D¯x = σ2 

n . 




l β = 

P(EX ∈ (¯x − ε β , ¯x + ε β )) 

 

¯x − √ s β 

Φ −1 , ¯x + s β 

√ Φ −1 . 

n 2 n 2


¯x = 1 n 

n 

i=1 

x i , E¯x = EX , D¯x = σ2 

n . 




l β = 

P(EX ∈ (¯x − ε β , ¯x + ε β )) 

 

¯x − √ s β 

Φ −1 , ¯x + s β 

√ Φ −1 . 

n 2 n 2 

Näide. Olgu {x 1 ,...,x 12 , y 1 ,...,y 12 } = {z 1 ,...,z 24 }.Siis 

¯z = 23, 58 ja s z =8, 39. Kui β =0, 9, siis 

 

8, 39 0, 9 

ε 0.9 ≈ √ Φ −1 =1, 712·1, 645 = 2, 82, l 0,9 ≈ (20, 76; 26, 4) 

24 2

Normaaljaotusele alluva üldkogumi keskväärtuse 

usalduspiirkond 

Kui X on normaaljaotusega, siis 

√ n(¯x − EX ) 

T n−1 = 

s 

on Studenti jaotusega vabadusastmete arvuga n − 1. 

√ √ 

n|¯x − EX | nεβ 

P(|¯x − EX |




√ n(¯x − EX ) 

T n−1 = 

s 


√ √ 


P(|¯x − EX |




√ n(¯x − EX ) 

T n−1 = 

s 


√ √ 


P(|¯x − EX |

Normaaljaotusele alluva üldkogumi dispersiooni 


Kui X on normaaljaotusega, siis Y n−1 =(n − 1)s 2 /DX on 

χ 2 –jaotusega vabadusastmete arvuga n − 1. 

kus 

ja 

P(Y n−1





kus 

ja 

P(Y n−1





kus 

P(Y n−1





l β = 

P(ν 1 < Y n−1

Normaaljaotusele alluva üldkogumi standarhälbe 

usaldusvahemik 

Kui on teada dispersiooni usaldusvahemik 

siis 

ehk 

P(r 1 < DX < r 2 )=β, 

r 1 < DX < r 2 ⇔ r 1




siis 

ehk 

P(r 1 < DX < r 2 )=β, 

r 1 < DX < r 2 ⇔ r 1




siis 

ehk 

P(r 1 < DX < r 2 )=β, 

r 1 < DX < r 2 ⇔ r 1

Vahemikhinnang korrelatsioonikordajale 

Saab näidata, et juhuslik suurus 

T n−2 = 

r 

 

1 − r 

2 

n − 2 

allub Studenti jaotusele vabadusastmete arvuga n − 2ning 

juhuslikku suurust 

Z = 1 1+r 

ln 

2 1 − r 

võib käsitleda normaaljaotusega juhusliku suurusena, mille 

standardhälbe hinnang on 

s z = 

1 

√ n − 3 

.

Vahemikhinnang korrelatsioonikordajale 

Saab näidata, et juhuslik suurus 

T n−2 = 

r 

 

1 − r 

2 

n − 2 

allub Studenti jaotusele vabadusastmete arvuga n − 2ning 

juhuslikku suurust 

Z = 1 1+r 

ln 

2 1 − r 

võib käsitleda normaaljaotusega juhusliku suurusena, mille 

standardhälbe hinnang on 

s z = 

1 

√ n − 3 

. 

 

εβ 

β 

β = P(|Z|

Vahemikhinnang korrelatsioonikordajale (2) 

Tähistame 

z = 1 2 

ln 

1+r 

∗ 

1 − r ∗ 

antud valimi põhjal leitud Z-i väärtust (s.t. kõigepealt on leitud 

korrelatsioonikordaja punktihinnang r).


Tähistame 

z = 1 2 

ln 

1+r 

∗ 

1 − r ∗ 


korrelatsioonikordaja punktihinnang r). Z-i usaldusvahemik on 

seega P(Z ∈ (z − s z · ε β , z + s z · ε β )) = β.


Tähistame 

z = 1 2 

ln 

1+r 

∗ 

1 − r ∗ 



seega P(Z ∈ (z − s z · ε β , z + s z · ε β )) = β. Tähistame 

z 1 = z − s z · ε β ja z 2 = z + s z · ε β . 

Korrelatsioonikordaja usaldusvahemiku leiame valemiga 

e 

2z 1 

− 1 

P 

e 2z < r < e2z 2 

 

− 1 

1 +1 e 2z ≈ β. 

2 +1


Tähistame 

z = 1 2 

ln 

1+r 

∗ 

1 − r ∗ 



seega P(Z ∈ (z − s z · ε β , z + s z · ε β )) = β. Tähistame 

z 1 = z − s z · ε β ja z 2 = z + s z · ε β . 

Korrelatsioonikordaja usaldusvahemiku leiame valemiga 

e 

2z 1 

− 1 

P 

e 2z < r < e2z 2 

 

− 1 

1 +1 e 2z ≈ β. 

2 +1 

Kuna 

Z = 1 2 

ln 

1+r 

1 − r = arth(r), 

siis r =tanh(Z), s.t. P(tanh(z 1 ) < r < tanh(z 2 )) ≈ β.


Näide jätkub. 

Leiame korrelatsioonikordaja usaldusvahemiku usaldusnivool 

β =0, 95. 

z = arth(0, 36) = 0, 377 s z = 

Leiame veel 

1 

√ 12 − 3 

= 1 3 

ε ≈ 1 0, 95 

3 Φ−1 =0, 6 

2 

z 1 =0, 377 − 0, 653 = −0, 276 z 2 =0, 377 + 0, 653 = 1, 03. 

Korrelatsioonikordaja usaldusvahemik on 

l 0,95 =(tanh(−0, 276); tanh(1, 03)) = (−0, 28; 0, 77).

Vahemikhinnang sündmuse tõenäosusele p 

Bernoulli piirteoreemi kohaselt koondub tõenäosuse järgi 

sündmuse A sagedus katsete arvu tõkestamatul kasvamisel 

sündmuse A toimumise tõenäosuseks.




sündmuse A toimumise tõenäosuseks. 

Kui X on binoomjaotusega, siis saab näidata, et p = k n on 

parameetri p nihketa 

 

hinnang 

 

ning X /n on ligikaudu 

pq 

normaaljaotusega N p, . 

n




sündmuse A toimumise tõenäosuseks. 

Kui X on binoomjaotusega, siis saab näidata, et p = k n on 

parameetri p nihketa 

 

hinnang 

 

ning X /n on ligikaudu 

pq 

normaaljaotusega N p, . 

n 

Tõenäosuse sümmeetrilise usaldusvahemiku leiame järgmiselt: 

⎛ 

⎞ 

millest 

β = P(|p − p ∗ |

Vahemikhinnang sündmuse tõenäosusele p (näide) 

Münti visati 100 korda ja 58 korral tuli kiri“. Leidke 95% 

” 

usaldusvahemik sündmuse mündi viskamisel tuleb kiri“ 

” 

tõenäosusele. 

p ∗ = 58 =0, 58, 

0, 95 

ε 0,95 ≈ Φ −1 · 

2 

Usaldusvahemik 

ehk 

100 

 

0, 58 · (1 − 0, 58) 

=1, 96 · 0, 05 = 0, 1 

100 

l 0,95 =(0, 48; 0, 68). 

P(0, 48 

Definitsioon 1 

Iga oletust tundmatu jaotusseaduse kuju või parameetrite kohta 

nimetatakse (statistiliseks) hüpoteesiks.




nimetatakse (statistiliseks) hüpoteesiks. 

Kontrollitavat hüpoteesi nimetatakse tavaliselt nullhüpoteesiks ja 

tähistatakse H 0 .Kõrvuti nullhüpoteesiga vaadeldakse 

konkureerivat ehk alternatiivset hüpoteesi H 1 ,stH 0 ja H 1 on 

teineteist välistavad.




nimetatakse (statistiliseks) hüpoteesiks. 

Kontrollitavat hüpoteesi nimetatakse tavaliselt nullhüpoteesiks ja 

tähistatakse H 0 .Kõrvuti nullhüpoteesiga vaadeldakse 

konkureerivat ehk alternatiivset hüpoteesi H 1 ,stH 0 ja H 1 on 

teineteist välistavad. 

Hüpoteesi H 0 kontrollimiseks kasutatakse valimi x 1 , x 2 ,...,x n põhjal 

spetsiaalselt koostatud statistikut θ ∗ n(x 1 , x 2 ,...,x n ), mille kui 

juhusliku suuruse täpne või ligikaudne jaotus on teada. Statistiku 

θ ∗ n kõigi võimalike väärtuste hulk ∆ jaotatakse kaheks 

mittelõikuvaks osahulgaks: kriitiliseks hulgaks ∆ 1 (hüpoteesi H 0 

tagasilükkamise piirkond) ja lubatud hulgaks ∆ 0 (hüpoteesi H 0 

vastuvõtmise piirkond).

Valimi jaotuse põhjal määratakse ∆ 1 selliselt, et kui hüpotees H 0 

on õige, siis P(θ ∗ n ∈ ∆ 1 )=α, kusα on etteantud väike arv.

Valimi jaotuse põhjal määratakse ∆ 1 selliselt, et kui hüpotees H 0 

on õige, siis P(θ ∗ n ∈ ∆ 1 )=α, kusα on etteantud väike arv. 

Lihtsamad kriitilised hulgad ∆ 1 on: 

1. parempoolne kriitiline hulk (θ kr , +∞); 

2. vasakpoolne kriitiline hulk (−∞,θ kr ); 

3. kahepoolne kriitiline hulk (−∞,θ krv ) ∪ (θ krp , +∞), 

kusjuures 

P(θ ∗ n ∈ (−∞,θ krv )) = P(θ ∗ n ∈ (θ krp , +∞)); 

4. sümmeetriline kriitiline hulk (−∞,θ kr ) ∪ (θ kr , +∞).

Parempoolse kriitilise hulga (θ kr , +∞) korral 

θ ∗ n >θ kr ⇒ hüpotees H 0 lükatakse tagasi, 

θ ∗ n



θ ∗ n



θ ∗ n



θ ∗ n

hüpotees H 0 võetakse vastu lükatakse tagasi 

õige õige otsus esimest liiki viga 

vale teist liiki viga õige otsus 


Esimest liiki vea lubatavuse tõenäosust α nimetatakse kriteeriumi 

olulisuse nivooks.






olulisuse nivooks. 

β teist liiki vea lubatavuse tõenäosus. 


Teist liiki vea mittelubatavuse tõenäosust 1 − β nimetatakse 

kriteeriumi võimsuseks.






olulisuse nivooks. 

β teist liiki vea lubatavuse tõenäosus. 


Teist liiki vea mittelubatavuse tõenäosust 1 − β nimetatakse 

kriteeriumi võimsuseks. 

α = P[(θ ∗ n ∈ ∆ 1 )(H 0 on õige)] 

β = P[(H 0 on vale)(θ ∗ n ∈ ∆ 0 )]

Loengu slaidid

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?