X - FIIT STU

Maticová algebra II
• systém lineárnych rovníc
• Frobeniova veta
• Gaussova eliminačná metóda
• Determinanty
• Cramerove pravidlo
Priesvitka 1

Systém lineárnych rovníc
Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
a11x1 + a12 x
2
+ ... + a1 nxn
= b1
a21x1 + a22x 2
+ ... + a2nxn
= b2
........................................
a x + a x + ... + a x = b
m1 1 m2 2
mn n m
Zavedením matíc
⎛a11 a
12
... a1 n ⎞ ⎛x1 ⎞ ⎛b1
⎞
⎜
a21 a
22
... a
⎟ ⎜
2n
x
⎟ ⎜
2
b
⎟
2
A= ⎜ ⎟, x = ⎜ ⎟,
b = ⎜ ⎟
⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎜... ⎟ ⎜ ... ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a a ... a x b
⎝ m1 m2
mn⎠ ⎝ n⎠ ⎝ m⎠
Priesvitka 2

prepíšeme systém do kompaktného maticového tvaru
Ax
=
b
kde A sa nazýva matica koeficientov, x sa nazýva vektor neznámych a b sa
nazýva vektor konštantných členov.
Riešenie systému môže byť reprezentované stĺpcovým vektorom
c
⎛ c1
⎞
⎜
c
⎟
⎜ ⎟
...
⎜ ⎟
⎝cn
⎠
2
= ⎜ ⎟
ktorý keď dosadíme do Ax = b, x = c, dostaneme maticovú identitu Ac=
b.
Priesvitka 3

y
a x+a y = b
1 2
y
ax+ay +az= b
1 2 3
x
x
A B
Geometrická interpretácia rovnice zo systému lineárnych rovníc pre (A) n = 2,
rovnica je interpretovaná priamkou, (B) n = 3, rovnica je interpretovaná rovinou.
z
Priesvitka 4

Riešenie systému Ax = b je potom určené prienikom týchto geometrických
útvarov priradených jednotlivým rovniciam. Označme „nadrovinu“ priradenú
i-tej lineárnej rovnici z Ax = b symbolom σ i , potom riešenie je zadané ich
prienikom
X = σ∩σ∩
1 2
... ∩σm
Z geometrického pohľadu vyplýva, že tento prienik buď obsahuje
(i) len jeden element,
(ii) má nekonečne mnoho elementov,
(iii) je prázdny.
Jeden z hlavných cieľov teórie systémov lineárnych rovníc je rozhodnúť za
ktorých podmienok majú alebo nemajú riešenie a v prípade, že ho majú, tak
ako ho zostrojiť.
Priesvitka 5

Za predpokladu, že matica koeficientov A je regulárna, riešenie systému
lineárnych rovníc má tento explicitný tvar
−1
x = A b
Nájdite inverznú maticu k matici
Zavedieme matice
Príklad
2x1+ 4x2
= 1
x + 4x
= 2
1 2
⎛2 4⎞ ⎛x1
⎞ ⎛1⎞
A= ⎜ , ,
1 4
⎟ x = ⎜ =
x
⎟ b ⎜
2
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Priesvitka 6

Pomocou týchto matíc prepíšeme tento systém do maticového tvaru Ax = b.
V predchádzajúcej prednáške príklade 8.8 bola zostrojená inverzná matica
vzhľadom k A
−1 ⎛ 1 −1⎞
A = ⎜
−14 12 ⎟
⎝ ⎠
Použitím
x
=
−1
A b zostrojíme riešenie systému v tvare
−1 ⎛ 1 −1⎞⎛1⎞ ⎛ −1⎞
x = A b = ⎜ =
−14 12
⎟⎜
2
⎟ ⎜
34
⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Priesvitka 7

(1) Systém lineárnych rovníc
má práve jedno riešenie = ( , )
Príklady
x
x
+ x = 1
− x = 0
1 2
1 2
x 1212 T
.
(2) Systém lineárnych rovníc
x
+ x =
1 2
1 2
1
−x
− x =−1
má nekonečne mnoho riešení, ktoré môžeme vyjadriť napr. vektorom
T
x = t, 1−t , ∀t∈R
( )
Priesvitka 8

(3) Systém lineárnych rovníc
+ x = 1
1 2
x1+ x2
= 2
nemá riešenie, rovnice sú vo vzájomnom spore
x
Geometrická interpretácia rovníc
x + x =1
1 2
3
2
y
x1- x2=0
x1+ x2=1
-x1- x2=-1
3
2
y
x + x =1
1 2
3
2
y
1
1
1
-4
-3
-2
-1
-1
1 2 3 4
x
-4
-3
-2
-1
-1
1 2 3 4
x
-4
-3
-2
-1
-1
1 2 3 4
x
-2
-2
-2
x+ x=2
1 2
-3
-3
-3
A
B
C
Priesvitka 9

Rozšírená matica
Definujme rozšírenú maticu (koeficientov) A' tak, že matica koeficientov A je
rozšírená o stĺpcový vektor konštantných členov
⎛ a11 a
12
... a1 n
b1
⎞
⎜
⎟
a21 a
22
... a2n
b2
A′ = ( A,
b ) = ⎜
⎟
⎜ ... ... ... ... ... ⎟
⎜
am 1
a
m2
... amn b ⎟
⎝
m⎠
Pomocou hodností matice koeficientov A a rozšírenej matice A′ môžeme
stanoviť, kedy systém lineárnych rovníc má alebo nemá riešenie.
Priesvitka 10

Veta (Frobeniova veta). Systém lineárnych rovníc Ax = b má riešenie vtedy a
len vtedy, ak
h( A) = h ( A ′)
Pričom, podrobnejšou analýzou tejto podmienky zistíme, že
(1) ak h( A) ≠ h ( A ′), potom systém nemá riešenie,
(2) ak h( A) = h( A ′)
= n, potom systém má práve jedno riešenie,
h A = h A ′ < n, potom systém má nekonečne mnoho riešení.
(3) ak ( ) ( )
Táto veta patrí medzi fundamentálny teoretický výsledok teórie lineárnych
rovníc, špecifikuje nutné a postačujúce podmienky pre existenciu riešenia.
Priesvitka 11

Systém lineárnych rovníc
Príklad
+ x = 1
1 2
x1− x2
= 0
Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar
⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 1⎞
A= ⎜ , ′
1 1
⎟ A =⎜ ⎟
⎝ − ⎠ ⎝1 −1 0⎠
Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke
h A = h A ′ =
( ) ( ) 2
To znamená, že systém má práve jedno riešenie, = ( , )
x
x 1212 T
.
Priesvitka 12

Systém lineárnych rovníc
Príklad
1 2
−x1− x2
=−1
Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar
⎛ 1 1 ⎞ 1 1 1
A = , A ⎛ ⎞
⎜
1 1
⎟ ′ =⎜ ⎟
⎝− − ⎠ ⎝ −1 −1 −1⎠
Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke
h A = h A′ = <
x
+ x =
( ) ( ) 1 2
To znamená, že systém má nekonečne mnoho riešení, ( 1 )
1
x = t, −t , ∀t∈R .
T
Priesvitka 13

Systém lineárnych rovníc
Príklad
+ x = 1
1 2
x1+ x2
= 2
Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar
⎛1 1⎞
1 1 1
A = , A ⎛ ⎞
⎜
1 1
⎟ ′ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝1 1 2⎠
Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke
h( A) = 1≠ h ( A ′)
= 2
To znamená, že systém nemá riešenie.
x
Priesvitka 14

Komentár
• Frobeniova veta nám len zabezpečuje či systém Ax = b má alebo nemá
riešenie, ale v prípade, že existuje, neumožňuje nám toto riešenie nájsť.
• Aplikácia vety vyžaduje stanovenie hodností tak matice koeficientov A, ako
aj rozšírenej matice A´, tento problém môže byť uskutočnený súčasne tak, že
stanovíme hodnosť rozšírenej matice, pričom nebudeme používať
elementárne operácie transpozície stĺpcových vektorov (menovite stĺpcového
vektora konštantných členov b so stĺpcovými vektormi matice koeficientov,
a taktiež, aj stĺpcových vektorov z matice A samotne).
• Upravená rozšírená matica v trojuholníkovom tvare je vhodná na
konštrukciu riešenia pomocou metódy spätných substitúcií. Tento prístup
tvorí obsah Gaussovej eliminačnej metódy (GEM), ktorá tvorí jeden
z najefektívnejších algoritmov pre riešenie systému lineárnych rovníc.
Priesvitka 15

Gaussova eliminačná metóda (GEM) riešenia systému lineárnych rovníc
Nad rozšírenou maticou A' sa vykonáva postupnosť nasledujúcich elementárnych
operácií nad jej riadkami:
(1) transpozícia dvoch riadkov,
(2) vynásobenie riadku nenulovým číslom a
(3) pripočítanie násobku vybraného riadku k inému riadku.
Cieľom týchto úprav je pretransformovať rozšírenú maticu na trojuholníkový
tvar. Riešenie získame z takto upravenej rozšírenej matice metódou spätných
substitúcií.
Priesvitka 16

Príklad
Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém
2x − 3x + x = 0
1 2 3
x + 2x − x = 3
1 2 3
2x1+ x2 + x3
= 12
Rozšírená matica má tvar
⎛2 −3 1 0 ⎞
⎜
⎟
A ′ = 1 2 −1 3
⎜2 1 1 12⎟
⎝
⎠
1. krok. Vykonáme vynulovanie prvkov pod diagonálou v prvom stĺpci
⎛2 −3 1 0 ⎞ ⎛2 −3 1 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 2 −1 3 ∼ 0 −7 3 −6
⎜2 1 1 12⎟ ⎜0 4 0 12⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Priesvitka 17

2. krok. Vykonáme vynulovanie prvku pod diagonálou v druhom stĺpci
⎛2 −3 1 0 ⎞ ⎛2 −3 1 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 −7 3 −6 ∼ 0 −7 3 −6
⎜0 4 0 12⎟ ⎜0 7 0 21⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
K tretiemu riadku pripočítame druhý riadok
⎛2 −3 1 0 ⎞ ⎛2 −3 1 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 −7 3 −6 ∼ 0 −7 3 −6
⎜0 7 0 21⎟ ⎜0 0 3 15⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Posledná matica znamená, že pôvodný systém rovníc bol pretransformovaný do
tvaru
2x1− 3x2 + x3
= 0
− 7x2 + 3x3
=−6
3x
= 15
x
T
=
3
( 135 , , )
Priesvitka 18

Príklad
Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém
2x − x + 5x + 3x
= 5
Rozšírená matica má tvar
1 2 3 4
x + x + 4x + 3x
= 7
1 2 3 4
x + 3x + 2x
= 4
1 3 4
x + x + x = 3
2 3 4
⎛ 2 −1 5 3 5⎞
⎜
1 1 4 3 7
⎟
A ′ = ⎜
⎟
⎜ 1 0 3 2 4⎟
⎜
⎟
⎝ 0 1 1 1 3⎠
Priesvitka 19

1. krok, nulujeme prvky v 1. stĺpci pod diagonálou
⎛ 2 −1 5 3 5⎞ ⎛ 2 −1 5 3 5 ⎞ ⎛2 −1 5 3 5 ⎞
⎜
1 1 4 3 7
⎟ ⎜
2 2 8 6 14
⎟ ⎜
0 3 3 3 9
⎟
⎜
− − − − − − − − −
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 0 3 2 4⎟ ⎜−2 0 −6 −4 −8 ⎟ ⎜0 −1 −1 −1 −3⎟
⎜ ⎟
0 1 1 1 3 ⎜ ⎟
0 1 1 1 3 ⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 1 1 1 3 ⎠
⎛2 −1 5 3 5⎞
⎜
0 1 1 1 3
⎟
⎝
⎠
(i) Vynásobíme 2. a 3. riadok rozšírenej matice číslom –2
(ii) K druhému a tretiemu riadku pripočítame prvý riadok
(iii) Posledné tri riadky sú lineárne závislé, tak napr. 2. a 3. riadok získame
vynásobením 4. riadku číslom –3 resp. –1, môžeme teda vynechať 2. a 3. riadok.
Priesvitka 20

2x − x + 5x + 3x
= 5
1 2 3 4
x + x + x = 3
2 3 4
Máme dve rovnice pre štyri neznáme, t. j. dve neznáme môžu byť
charakterizované ako volné parametre, x3 = u,x4
= v, potom upravený systém
prepíšeme do formálneho tvaru dvoch lineárnych rovníc pre dve neznáme
2x − x = 5−5u−3v
1 2
x = 3 −u −v
2
Dosadením druhej rovnice do prvej dostaneme konečné riešenie pre neznámu x 1
1
x1
= ( 5 − 5 u− 3 v+ ( 3 −u − v)
) = 4 − 3 u−
2 v
2
Priesvitka 21

Stĺpcový vektor riešenia má tvar
⎛4−3u−2v⎞ ⎛4⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜
3−u−v
⎟ ⎜
3
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
1
⎟
x = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟−u⎜ ⎟− v⎜ ⎟= a−ub−vc
⎜ u ⎟ ⎜0⎟ ⎜−1⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ v ⎠ ⎝0 0 −1
{ ⎠ ⎝{ ⎠ ⎝{
⎠
a b c
Môžeme teda uzavrieť, že systém má nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria
množinu X = { a−ub−v c;u,v∈R}
. Ak napríklad položíme u = v = 1, potom
vektor riešení má tvar
⎛4⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛−1⎞
⎜
3
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
1
⎟
x = ⎜ ⎟−⎜ ⎟− ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜0⎟ ⎜−1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 0 −1 1
{ ⎠ ⎝{{
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a b c
Priesvitka 22

Homogénny systém lineárnych rovníc
Ak stĺpcový vektor konštantných členov je nulový, potom systém Ax = b sa
nazýva homogénny
Ax = 0
Homogénny systém má vždy tzv. triviálne riešenie, x = 0. Môžeme si položiť
otázku, kedy existuje netriviálne riešenie (keď aspoň jedna neznáma je
nenulová). Tento problém je taktiež riešený Frobeniovou vetou.
Veta. Homogénny systém lineárnych rovníc má netriviálne riešenie vtedy a len
vtedy, ak hodnosť matice koeficientov je menšia ako počet neznámych
h A < n
( )
Jednoduchý dôsledok tejto vety je, že ak hodnosť matice sa rovná počtu
neznámych, h( A ) = n, potom homogénny systém má len triviálne „nulové“
riešenie.
Priesvitka 23

Príklad
Hľadajme riešenie homogénneho systému rovníc
2x − x + 5x + 3x
= 0
1 2 3 4
x + x + 4x + 3x
= 0
1 2 3 4
x + 3x + 2x
= 0
1 3 4
x2 + x3 + x4
= 0
Budeme hľadať hodnosť matice koeficientov tohto systému
⎛ 2 −1 5 3⎞ ⎛ 2 −1 5 3 ⎞ ⎛2 −1 5 3 ⎞
⎜
1 1 4 3
⎟ ⎜
−2 −2 −8 −6 ⎟ ⎜
0 −3 −3 −3 ⎟
⎛ 2 −1 5 3⎞
A = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 0 3 2⎟ ⎜−2 0 −6 −4⎟ ⎜0 −1 −1 −1⎟
⎜
0 1 1 1
⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 1 1 1⎠ ⎝ 0 1 1 1 ⎠ ⎝0 1 1 1 ⎠
Priesvitka 24

To znamená, že h(A) = 2 < 4, t. j. systém má nekonečne mnoho netriviálnych
riešení. Pomocou trojuholníkovej matice, ktorá je ekvivalentná s pôvodnou
maticou koeficientov, zostrojíme ekvivalentný homogénny systém lineárnych
rovníc
2x1 − x2 + 5x3 + 3x4
= 0
x2 + x3 + x4
= 0
Tento systém obsahuje 2 rovnice pre 4 neznáme, potom, napríklad x 3 a x 4 môžu
byť zvolené ako volné parametre, x3
= u a x4
= v, pre u,v∈R .
⎛−3u−
2v⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜
−u−v
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
1
⎟
x = ⎜ ⎟=−u⎜ ⎟− v⎜ ⎟=−ua−vb
⎜ u ⎟ ⎜−1⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ v ⎠ ⎝ 0 −1
{ ⎠ ⎝{
⎠
Množinu riešení potom môžeme vyjadriť takto
a
b
X
{ ua v b;u,v
R}
= + ∈
Priesvitka 25

Nájdite riešenie homogénneho systému
Príklad
2x − 3x + x = 0
1 2 3
x + 2x − x = 0
1 2 3
2x + x + x = 0
1 2 3
Stanovíme hodnosť matice koeficientov
A
⎛2 −3 1 ⎞ ⎛2 −3 1⎞
=
⎜
1 2 −1 ⎟ ⎜
0 −7 3
⎟
⎜2 1 1 ⎟ ⎜0 0 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Hodnosť matice koeficientov h(A) = 3, čo je aj počet neznámych, t. j.
homogénny systém má len triviálne riešenie.
Priesvitka 26

2x − 3x + x = 0
1 2 3
− 7x
+ 3x
= 0
2 3
3x
= 0
3
x
T
=
( 000 , , )
Týmto sme ukázali na konkrétnom príklade, že ak hodnosť matice koeficientov
sa rovná počtu neznámych, h(A) = n, homogénny systém má len triviálne
riešenie. Tieto úvahy môžeme zosumarizovať do nasledujúcej vety.
Veta. Homogénny systém lineárnych rovníc má buď len jedno triviálne
h = n
h A < n.
riešenie, keď ( A ) , alebo má mnoho netriviálnych riešení, keď ( )
Priesvitka 27

Determinanty
Nech A je množina všetkých možných matíc. Hodnosť matice môžeme formálne
chápať ako zobrazenie množiny matíc A na množinu kladných celých čísel
{ }
h : A → 1,2,...
Analogicky, pod pojmom determinant budeme rozumieť zobrazenie množiny
štvorcových matíc A ⊂A na množinu reálnych čísel
det
:
A
→ R
Determinant matice
A∈
z R priradené štvorcovej matici A.
A budeme označovať symbolom |A| , je to reálne číslo
Priesvitka 28

Prv než pristúpime k definícii determinantu uvedieme základné skutočnosti
o permutáciách. Permutáciu P priradenú n objektom budeme vyjadrovať
symbolom
P = ( p
1, p
2,..., pn
)
kde elementy p 1 , p 2 ,..., p n sú prirodzené čísla z množiny { 12 , ,...,n}, ktoré
vyhovujú podmienke
i ≠ j ⇒ p ≠ p
i
j
1
2
3
4
1
2
3
4
Celkový počet permutácií n objektov je n!, tieto permutácie tvoria symetrickú
grupu (množinu) permutácií S n .
Priesvitka 29

Ku každej permutácii môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa nazýva
počet inverzií: hovoríme, že prvky p i a p j tvoria inverziu v permutácia
P=(p 1 ,...,p i ,...,p j ,...,p n ), vtedy a len vtedy, ak platí
i < j ⇒ p > p
Celkový počet inverzií v permutácii P je označený I(P).
Príklad
Zostrojte všetky permutácie pre n = 2 a n = 3 , charakterizujte každú permutáciu
počtom inverzií.
Permutácie pre n=2 majú tvar
( ) ( )
( ) ( )
P = 12 , , I P = 0
P = 21 , , I P = 1
i
j
Priesvitka 30

Permutácie pre n=3 majú tvar
( 123) ( ) 0
( 132) ( ) 1 ( 3 2)
( 213) ( ) 1 ( 2 1)
( 231) ( ) 2 ( 2 13 1)
( 312) ( ) 2 ( 3 1 3 2)
( 321) ( ) 3 ( 3 23 12 1)
P = , , , I P =
Definícia 9.1. Nech = ( A ij )
matice je
P = , , , I P = >
P = , , , I P = >
P = , , , I P = > , >
P = , , , I P = > , >
P = , , , I P = > , > , >
A je štvorcová matica typu (n,n), determinant tejto
∑
P∈S
n
I
( ) ( P
1
) 1 1 2 2
A = − A A ...A
(9.10)
p p np
kde sumácia obsahuje všetky možné permutácie z S n . Alternatívne označenie
determinantu je det(A) alebo D(A).
n
Priesvitka 31

Determinant matice
je podľa definície určený takto
A
Príklad
⎛
A
A
⎞
11 12
= ⎜
A21 A ⎟
22
⎝
⎠
A
∑
= −
P∈S
2
I
( 1) ( P )
A
A
1p
2p
1 2
I
( ) ( 12 , ) I
( ) ( 21 ,
1 A A 1
)
= − + −
A A
11 22 12 21
= A11A22 − A12 A21
Diagramatická interpretácia výpočtu determinantu matice typu 2×2
A11 A12
A11A22 A12 A21
A A = −
21 22
Priesvitka 32

Determinant matice
A
⎛
Príklad
A A A
⎞
11 12 13
=
⎜
A21 A22 A
⎟
⎜
23 ⎟
⎜A31 A32 A ⎟
⎝
22 ⎠
je podľa definície určený v tvare, ktorý môžeme jednoducho vyjadriť pomocou
diagramatickej interpretácie (Sarrusove pravidlo)
A A A A A
A A A A A
A A A A A
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
= A A A + A A A + A A A − A A A − A A A − A A A
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
Priesvitka 33

Základné vlastnosti determinantov
(1) Nech A je štvorcová matica, potom
T
A = A
Dôsledok tejto vlastnosti je, že ľubovolná vlastnosť, ktorá platí pre riadky
determinantu musí platiť aj pre jeho stĺpce (a naopak).
(2) Nech A je štvorcová matica a nech matica B vznikne z A výmenou dvoch
stĺpcov (riadkov)
A = s ,..., s ,..., s ,..., s → B=
s ,..., s ,..., s ,..., s
potom
( 1 i j n) ( 1 j i n)
B = − A
Priesvitka 34

Nech matica A obsahuje dva rovnaké stĺpce v polohe i a j
A = ( s1,..., si,... sj− 1, si, sj + 1, ..., s
n)
Potom jednoduchým dôsledkom vlastnosti je, že táto matica je nulová
A = 0
(3) Nech A je štvorcová matica a nech matica B vznikne z A tak, že jeden stĺpec
(riadok) vynásobíme číslom α
A = ( s1,..., si,..., sn) → B= ( s1,..., αsj,...,
s
n)
potom
B = α A
Dôsledok tejto vlastnosti je, že ak matica A obsahuje nulový stĺpec (riadok),
potom determinant matice je nulový.
Priesvitka 35

(4) Nech A je štvorcová matica a nech matica B vznikne z A tak, že násobok
vybraného stĺpca (riadka) pripočítame k inému stĺpcu (riadku)
A = s ,..., s ,..., s ,..., s → B = s ,..., s +αs ,..., s ,..., s
potom
( 1 i j n) ( 1 i j j n)
B = A
(5) Nech A je štvorcová matica a nech pre jej vybraný stĺpec platí s i
= s i
′ + s i
′′
A = ( s1 ,..., s′ ′′
i
+ si,...,
s
n)
potom
A = A′ + A ′′
kde matica A' (A'') vznikne z pôvodnej matice tak, že i-tý stĺpec s
i
je nahradený
stĺpcovým vektorom s i
′( s i
′′ )
A′ = s ,..., s′ ,..., s , A′′ = s ,..., s′′
,..., s
( ) ( )
1 i n 1 i n
Priesvitka 36

Veta. Nech A je štvorcová matica typu n×n. |A|=0 vtedy a len vtedy, ak h(A)

Príklad
1
1 2 3
2
0 1 1 a
3
1 1 1 sú
lineárne nezávislé.. Tieto vektory môžeme formálne chápať ako riadkové
vektory matice A typu 3×3
⎛ 1 2 3 ⎞
A =
⎜
0 1 −1
⎟
⎜−1 1 1 ⎟
⎝ ⎠
Ak determinant tejto matice je nenulový, potom h(A)=3, t.j. jej riadkové vektory
sú lineárne nezávislé
1 2 3 1 2
Dokážte, že vektory a = ( ), a = ( − ) a = ( − )
0 1 − 1 0 1= 1+ 2+ 0+ 3+ 1− 0=
7
−1 1 1 −1
1
Priesvitka 38

Príklad
Vektory a, b a c sú lineárne závislé vtedy a len vtedy ak z nich zostrojený
determinant matice
⎛a
⎞
A =
⎜
b
⎟
⎜ ⎟
⎝c
⎠
je nulový, A = 0, bude použitý na určenie roviny σ v 3-rozmernom priestore,
ktorá je určená bodmi A, B a C, ktoré sú reprezentované riadkovými vektormi
= a a a = b b b c = c c c
a ( ), b ( ) a ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
C= ( c
1,c 2,c3)
X= x ,x ,x ( )
1 2 3
A= ( a 1,a 2,a3)
B= ( b
1,b 2,b3)
Priesvitka 39

Všeobecný bod X, reprezentovaný vektorom = ( x x x )
x
1 2 3
, leží v rovine σ,
uuur
potom
uur
vektor
uur
XA = x−a
môže byť vyjadrený ako lineárna kombinácia vektorov
CA = c−a
a BA = b−a, t.j. tieto tri vektory sú lineárne závislé
x− a x −a x −a x −a
1 1 2 2 3 3
c− a = c −a c −a c − a =
1 1 2 2 3 3
b−a
b −a b −a b −a
1 1 2 2 3 3
0
vypočítaním tohto determinantu pomocou Sarrusovho pravidla, dostaneme
lineárnu rovnicu vzhľadom k premenným x 1 , x 2 a x 3
ax 1 + bx 2 + cx 3 + d = 0
kde a, b, c a d sú koeficienty rovnice popisujúcej rovinu σ.
Priesvitka 40

Veta. Nech A je štvorcová trojuholníková matica (nepožaduje sa, aby každý
diagonálny element bol nenulový)
⎛A11 A
12
... A1
n ⎞
⎜
0 A
22
... A
⎟
2n
A = ⎜
⎟
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 ... Ann
⎠
Determinant matice sa rovná súčinu jej diagonálnych elementov
A
=
A11A 22...Ann
Dôsledok tejto vety je, že determinant jednotkovej matice E sa rovná jednej
E =1
Priesvitka 41

Táto veta umožňuje zostrojiť efektívny algoritmus pre výpočet determinantov
ľubovolnej dimenzii n.
• Použijeme jednoduchý algoritmus, ktorý je veľmi podobný algoritmu
stanovenia hodnosti matice a ktorý je založený na vlastnostiach
determinantov.
• To znamená, že nad stĺpcami a riadkami budeme vykonávať jednoduché
elementárne operácie tak, aby sme dostali trojuholníkovú maticu (t. j.
nulujeme elementy pod diagonálou).
• Na rozdiel od stanovenia hodnosti matice, pri tomto výpočte determinantu
jeho hodnota sa môže meniť, tak napríklad po transpozícii dvoch stĺpcov
(riadkov) dochádza k zmene znamienka determinantu, alebo ak riadok
vynásobíme číslom α, tak potom pred determinant musíme vytknúť číslo
1 α.
• To znamená, že súčasťou algoritmu musí byť aj premenná v ktorej sa
kumuluje táto zmena numerickej hodnoty determinantu v priebehu aplikácií
elementárnych operácií.
Priesvitka 42

Vypočítajte determinant matice s n = 4
Príklad
⎛ 1 0 2 −1⎞
⎜
2 1 −2 3
⎟
A = ⎜
⎟
⎜−
1 3 − 2 4 ⎟
⎜
⎟
⎝ 2 −1 2 1 ⎠
Postup transformácie determinantu na trojuholníkový tvar je prezentovaný na
tejto schéme:
Priesvitka 43

A
1 0 2 −1 1 0 2 −1 1 0 2 −1 1 0 2 −1
2 1 −2 3 0 1 −6 5 0 1 −6 5 0 1 −6 5
= = = = 68 ⋅ =
−1 3 −2 4 0 3 0 3 0 0 18 −12 0 0 3 −2
2 −1 2 1 0 −1 −2 3 0 0 −8 8 0 0 −1 1
14 424443 1442443 1442443 1442443
A A A A
1 2 3 4
1 0 2 −1 1 0 2 −1
0 1 −6 5 0 1 −6 5 ⎛ 1 ⎞
683 ⋅ ⋅ = 683 ⋅ ⋅
= 6⋅8⋅3111 0 0 1 −2 3 0 0 1 −2 3
⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟=
48
⎝ 3 ⎠
0 0 −1 1 0 0 0 1 3
14 424443 14424 4443
A
5 6
A
Priesvitka 44

Veta 9.6. Nech A a B sú štvorcové matice rovnakého typu t( ) = t( ) = ( n,n)
A B ,
potom determinant súčinu týchto matíc sa rovná súčinu ich determinantov
AB = A ⋅ B
Ako jednoduchý dôsledok tejto vety je formula pre determinant inverznej matice
−1
1
A , ktorá vyhovuje podmienke AA − = E, použitím formuly AB = A ⋅ B
dostaneme
Determinant inverznej matice
A =
A
−1
A existuje vtedy a len vtedy, ak hodnosť matice
−1 1
A sa rovná jej dimenzii n z typu t( A ) = ( n,n)
, t. j. h( )
A = n.
Priesvitka 45

Veta. Matica A je regulárna vtedy a len vtedy, ak jej determinant je nenulový
A ≠ 0
Jedna zo základných aplikácií determinantov je ich použitie k riešeniu systému
lineárnych rovníc Ax = b, ktorý má štvorcovú a regulárnu maticu koeficientov
A. Maticu A vyjadríme pomocou stĺpcových vektorov, potom systém Ax = b
môžeme prepísať do tvaru
n
( s1, s2,..., sn)
x = b⇒ b=∑
xks
k
Označme symbolom A i maticu, ktorá vznikne z matice A tak, že jej i-tý stĺpec
nahradíme stĺpcovým vektorom konštantných členov b
k = 1
( ,..., , , ,..., )
A = s s b s s
i 1 i− 1 i+
1 n
Priesvitka 46

Budeme počítať determinant tejto matice
A = s ,..., s , b, s ,..., s = s ,..., s , x s , s ,..., s
i 1 i− 1 i+ 1 n 1 i− 1 i i i+
1 n
k = 1
n
∑
= x
i
s1,..., si− 1, sk, si+
1,..., sn = xi
A
144424443
k = 1
= 0 pre k ≠i
Za predpokladu, že A je regulárna matica, z poslednej rovnice vyplýva riešenie
systému lineárnych rovníc v explicitnom tvare, tento poznatok sformulujeme ako
vetu.
n
∑
Veta (Cramerove pravidlo). Systém lineárnych rovníc Ax =
regulárna matica, má riešenie
b, kde A je
i
x
i
= A A
(pre i = 1, 2, ..., n)
Priesvitka 47

Príklad
Nájdite riešenie systému lineárnych rovníc pomocou Crameroveho pravidla
2x − 3x + x = 1
1 2 3
x + 2x − x = 0
1 2 3
2x + x + x =−1
1 2 3
Zostrojíme jednotlivé determinanty
2 −3 1
1 −3 1
2 1 1
A = 1 2 − 1 = 12, A
1
= 0 2 − 1 = 2, A
2
= 1 0 − 1 =−6, A
3
2 1 1
−1 1 1
2 −1 1
2 −3 1
= 1 2 0 =−10
2 1 −1
Potom riešenie
2 1
12 6
x
1
= = , x2
−6 1
= =− , x3
12 2
−10 5
= =−
12 6
Priesvitka 48

1. krok 2. krok
A B C 1
D
2. krok
The End
C 2
Priesvitka 49