Materjali fail - Matemaatika didaktika

T A R T U Ü L I K O O L
MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND
Matemaatika instituut
Matemaatika didaktika õppetool
Anu Kuld
GEOTAHVLI KASUTAMINE
PÕHIKOOLI GEOMEETRIAÕPETUSES
Magistriõppe lõputöö
Juhendaja: dots Tiit Lepmann
Autor: ...................................................................... „ ....... “ juuni 2009
Juhendaja: ................................................................ „ ....... “ juuni 2009
Lubatud kaitsmisele
Matemaatika instituudi juhataja: .............................. „ ....... “ juuni 2009
Tartu 2009

Sisukord
SISSEJUHATUS ............................................................................................................. 3
1 GEOTAHVEL ............................................................................................................ 4
1.1 GEOTAHVLI TUTVUSTUS ........................................................................................... 4
1.2 GEOTAHVLI VALMISTAMINE ................................................................................... 11
1.3 GEOTAHVEL GEOMEETRIAÕPETUSES ...................................................................... 12
2 VIRTUAALNE GEOTAHVEL .............................................................................. 19
2.1 VIRTUAALSE GEOTAHVLI EKRAANIPILT .................................................................. 20
2.2 VIRTUAALSE GEOTAHVLI KASUTUSJUHEND ............................................................ 21
3 TÖÖLEHTI GEOTAHVLI KASUTAMISEKS ................................................... 24
3.1 HULKNURGA PINDALA JA ÜMBERMÕÕT .................................................................. 25
3.1.1 Pindala mõiste ................................................................................................ 27
3.1.2 Ümbermõõdu mõiste ...................................................................................... 29
3.1.3 Kujundi pindala ja ümbermõõt ...................................................................... 30
3.1.4 Ristküliku ja ruudu pindala valemi tuletamine .............................................. 31
3.1.5 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest .......................................... 32
3.1.6 Täisnurkse kolmnurga pindala leidmine ristküliku pindala meetodil ............ 34
3.1.7 Täisnurkse kolmnurga pindala valemi tuletamine ......................................... 35
3.1.8 Suvalise kolmnurga pindala valemi tuletamine ............................................. 37
3.1.9 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest (rakendus) ....................... 39
3.1.10 Nelinurgaga pindvõrdse kolmnurga leidmine .............................................. 40
3.1.11 Hulknurga pindala ....................................................................................... 41
3.2 KOORDINAATTASAND ............................................................................................ 43
3.2.1 Koordinaattasand ........................................................................................... 44
3.2.2 Koordinaattasand, ümbermõõt ja pindala ..................................................... 45
3.3 KUJUNDITE SÜMMEETRIA JA TEISENDUSED TASANDIL ............................................ 46
3.3.1 Sirge suhtes sümmeetrilised kujundid ............................................................ 47
3.3.2 Kujundi pööramine ümber selle punkti .......................................................... 49
3.4 AVATUD PROBLEEMIDE VÄLJU ............................................................................... 51
3.4.1 Lõigud geotahvlil ........................................................................................... 52
3.4.2 Ruudud geotahvlil .......................................................................................... 54
KOKKUVÕTE .............................................................................................................. 56
SUMMARY ................................................................................................................... 57
KASUTATUD KIRJANDUS ....................................................................................... 58
2

Sissejuhatus
Käesoleva magistriõppe lõputöö eesmärgiks on tutvustada praktilist õppevahendit ja
selle võimalusi elementaargeomeetria õpetamisel. Töös kasutatakse selle vahendi
nimetamiseks terminit geotahvel.
Geotahvel on originaalis valmistatud puuplaadi ja poolenisti sellesse löödud naeltest
ning seda kasutatakse naelte ümber erinevate kummide abil geomeetriliste kujundite
tekitamiseks. See vahend võimaldab õpilastel käelise tegevuse kaudu uurida selliseid
koolimatemaatika geomeetria teemasid nagu ümbermõõt, pindala, geomeetrilised
kujundid ja nende omadused, sümmeetria, koordinaattasand, nurgad ja nende suurused.
Käesolev töö koosneb kolmest osast. Esimeses peatükis tutvustatakse esmalt geotahvli
olemust ning vaadeldakse nelja erinevat geotahvli tüüpi, millest kolm on tasapinnaliste
ning üks ruumiliste kujundite uurimiseks. Järgnevalt pakutakse võimalus
ainetevaheliseks integratsiooniks, milleks antakse näpunäited geotahvli ise
valmistamiseks näiteks tööõpetuse tunnis. Seejärel tuuakse ülevaade geotahvli
kasutamise võimalustest geomeetriaõpetuses koos selgitavate näidetega.
Töö teises osas vaadeldakse autori meelest üht parimat võimalikku varianti Internetist
vabalt kättesaadavatest virtuaalsetest geotahvlitest ning antakse selle kasutusjuhend.
Samuti tuuakse selle geotahvli erinevate tüüpide elektrooniliste variantide
veebiaadressid.
Kolmas peatükk on kõige mahukam sisaldades töö käigus autori poolt koostatud
töölehti geotahvli rakendusvõimaluste konkreetsemaks näitlikustamiseks. Need on
eelkõige mõeldud kasutamiseks virtuaalse geotahvliga, kuid väikeste mööndustega
kasutatavad ka füüsilise geotahvli korral. Töölehtede temaatika puudutab peamiselt 6.
klassi materjali, kuid esimesed töölehed on kasutatavad ka juba 4.-5. klassis ja peatüki
viimaste töölehtede ülesannete uurimiseks võimalikult üldisel kujul on vajalikud
gümnaasiumiõpilase teadmised. Seega geotahvel pakub võimalusi erinevate geomeetria
teemade käsitlemisel kogu kooliaja vältel.
Töös olevate jooniste tegemiseks on peamiselt kasutatud dünaamilise geomeetria
programmi GeoGebra.
3

1 Geotahvel
1.1 Geotahvli tutvustus
1950-ndate aastate algul võttis Egiptusest pärit matemaatik ja pedagoog Caleb Gattengo
(1911-1988) Londonis kasutusele uue matemaatilise vahendi elementaargeomeetria
õpetamiseks. Prantusekeelsetes artiklites kasutas Caleb Gattengo selle vahendi
nimetamiseks terminit géoplan, inglise keeles nimetatakse seda aga geoboard. Sõna
tahvel näib samuti tavalisem olema Saksamaal, kus seda kutsutakse nagelbrett. [1]
Käesolevas töös kasutame selle õppevahendi korral eestikeelse vastena terminit
geotahvel.
Geotahvel on originaalis valmistatud puuplaadi ja poolenisti sellesse löödud naeltest
ning seda kasutatakse naelte ümber erineva värvi ja suurusega kummide abil
geomeetriliste kujundite tekitamiseks (vt joonis 1 ja 2) [2]. Tänapäeval valmistatakse
geotahvleid ka läbipaistvast plastmassist, mis annab võimaluse vaadelda kujundeid
ümberpööratult ning asetada geotahvleid üksteise peale. Samuti on võimalik
läbipaistvaid geotahvleid kasutada grafoprojektori abil suurelt seinale näitamiseks.
Joonis 1. Algupärasem geotahvel, mis on
valmistatud puuplaadi ja naelte abil.
Joonis 2. Kaasaegsem puidust geotahvel.
Kõige sagedamini kasutatakse 5x5 võrgustikuga geotahvleid, mis koosnevad kokku 25
naelast asetatuna võrdsete vahekaugustega viiele horisontaalsele ja viiele vertikaalsele
joonele (vt joonis 2) [3].
Geotahvli plaadi osa võib olla tegelikult ükskõik millise kujuga (vt joonis 1), oluline on
siinjuures naelte omavaheline paigutus sellel. Olenevalt naelte võrgustikust on geotahvli
abil võimalik tekitada jooniseid nii tasapinnalistest kui ka ruumilistest kujunditest.
4

Järgnevalt vaatamegi lähemalt kolme tasapinnaliste ning üht ruumiliste kujundite
uurimiseks kasutatavaid võimalikke geotahvli tüüpe. Lisaks anname lühikese kirjelduse
iga tüübi võrgustiku konstruktsiooni kohta.
I Geotahvli põhitüübid tasapinnaliste kujundite tekitamiseks
Esimese, kõige lihtsama geotahvli variandina, vaatleme 5x5 ruuttahvlit.
Joonis 3. 25 punkti ehk 5x5 ruuttahvel.
Ruuttahvli võrgustiku konstruktsioon on kõige lihtsam. Selleks piisab võtta vaid
ruuduline või millimeeterpaber ning märkida horisontaalsetele ja vertikaalsetele
joontele võrdsete vahekaugustega punktid, mis moodustaksid ruudu.
Joonis 4. 5x5 ruuttahvli konstruktsioon.
Valgele paberile võrgustiku tegemiseks võib aluseks võtta juba 6. klassis vaadeldava
Descartes’i ristkoordinaadistiku, mille järgi on lihtne vajalike punktide asukohad
määrata.
5

Järgmise alaliigina geotahvlitest on kasutusel kolmnurktahvel.
Joonis 5. 15 punkti kolmnurktahvel.
Kolmnurktahvli võrgustiku tegemiseks on samuti kõige lihtsam kasutada
koordinaatruudustikku. Nüüd tuleb punktid paigutada malelaua süsteemi järgi
ruudustikku (vt joonis 6) nii, et need moodustaksid kolmnurga ning punktidevahelised
kaugused ridades oleksid võrdsed.
Joonis 6. Kolmnurktahvli võrgustiku konstruktsioon.
Sellise konstruktsiooni korral kummi abil tekitatav kõige väiksem kolmnurk ehk
ühikkolmnurk on võrdhaarne kolmnurk, mille alus ja kõrgus on võrdsete pikkustega.
Kolmnurktahvli võrgustiku võib konstrueerida ka selliselt, et ühikkolmnurk oleks
võrdkülgne.
6

Kolmanda võimalusena on tasapinnaliste kujundite uurimiseks kasutusele võetud
ringtahvel.
Joonis 7. 25 punkti ringtahvel.
Ringtahvli võrgustiku konstrueerimise aluseks on ringi jaotamine sektoriteks.
Analoogiliselt ruut- ja kolmnurktahvliga ei ole ringtahvli puhul kujuteldavate sektorite
ning ringjoonte arv määratud, kuid iga kahe järjestikku asuva ringjoone raadiuste vahe
peab olema konstantne ning punktid peavad asuma ringjoon(t)el ühtlaselt.
Joonis 8. Ringtahvli võrgustiku konstruktsioon.
7

Suurema tööpinna saamiseks võib geotahvleid ühendada – näiteks pannes kokku neli
5x5 ruuttahvlit, saame ühe suure 10x10 geotahvli.
Joonis 9. 10x10 geotahvel ühendatuna neljast 5x5 ruuttahvlist.
Geotahvel mõõtmetega 11x11 annab hea võimaluse koordinaatteljestiku kasutamiseks.
Lisaks punkti koordinaatide määramisele saab selle abil lahendada veel näiteks
peegeldamisülesandeid horisontaalsest ja vertikaalsest sirgest ning punktist
(koordinaatide alguspunktist).
Joonis 10. Koordinaattahvel.
8

II Geotahvel ruumiliste kujundite tekitamiseks
Me näeme iga päev enda ümber erinevaid geomeetrilisi vorme. Tihtipeale tuleb teha
meil esemetest jooniseid, mis oleksid üheselt mõistetavad ka kõrvaltvaatajale. Kui
tasandiliste kujundite joonestamisele on meie põhikooli ainekavas piisavalt tähelepanu
pööratud, siis ühegi ruumilise kujundi joonestamise oskust põhikooli ainekava otseselt
ei nõua [4]. Samas gümnaasiumi stereomeetriakursuse edukaks omandamiseks peaks
õpilane oskama teha piisavalt ülevaatlikke jooniseid. Seetõttu pole ülearune juba teisel
või kolmandal kooliastmel anda esmaseid oskusi ruumiliste kujundite joonestamiseks.
Ühe võimalusena pakub töö autor välja enne paberile joonestamise juurde asumist
harjutada ruumiliste kujundite tekitamist spetsiaalsel geotahvlil.
Kolmemõõtmeliste ehk ruumiliste objektide ilmekaks kujutamiseks kahemõõtmelisel
pinnal saab ühe võimalusena kasutada isomeetriat, mis on üks aksonomeetria 1
alaliikidest [5]. Isomeetrilise kujutamisviisi korral on kujutamiskiired ekraaniga risti
ning teljestik on paigutatud ekraani suhtes nii, et kõik teljed moodustavad ekraaniga
võrdsed nurgad, mistõttu teljestikust saadav ristprojektsioon tuleb isomeetriline ehk
võrdmõõduline [6] – igal teljel on sama skaala, st et üks ühik välja joonistatuna ühel
teljel on täpselt sama pikk ka teisel ning kolmandal teljel. Nurgad telgede kujutiste
vahel on võrdsed, suurusega 120°.
Joonis 11. Isomeetriline projektsioon
Punktide märkimisel koordinaatteljestikku, mis koosneb kahest ristuvast arvteljest,
saame koordinaatruudustiku punktid, mille põhjal saime võrgustiku eespool vaadeldud
ruuttahvli jaoks. Isomeetriateljestikku märgitud punktid moodustavad aga punktide
võrgustiku nagu näidatud joonisel 12.
1
Aksonomeetria on kujutise ilmekust (selgust) taotlev kujutamismeetod, mille puhul kujutis
konstrueeritakse eseme punktide koordinaatide järgi, teljestiku kujutise baasil. Tegemist ei ole ruumilise
joonisega vaid selle imitatsiooniga, sest joonis ise asub kahemõõtmelisel pinnal . [7]
9

Joonis 12. Isomeetria teljestik.
Kui ristkoordinaatteljestiku korral saame ruudustiku ehk ruutudest koosneva mustri, siis
isomeetriateljestikku märgitud punktid moodustavad rombidest koosneva mustri.
Tegemist on tõepoolest rombidega, sest ühiknelinurga vastasküljed on paralleelsed ja
võrdsete pikkustega. Seejuures üks paar vastasnurki on suurusega 120° ja teine paar
vastasnurki suurusega 60°.
Viimast, rombidest koosnevat punktide võrgustikku, võib samuti kasutatada geotahvli
konstrueerimisel, mille tulemusel saadavat geotahvlit nimetame isomeetriliseks tahvliks.
Joonis 13. Isomeetriline geotahvel.
10

Näide 1. Tekitame isomeetrilisele geotahvlile kuubid ja püramiidi.
Joonis 14. Isomeetrilisele geotahvlile tekitatud kuubid ja püramiid.
Kuubi puhul on nähtamatud jooned mõistlik tegemata jätta, mida aga püramiidi
konstrueerimisel soovitada ei saa. Jooniste tegemisel on kasutatud veebis vabalt
kättesaadavat virtuaalset isomeetrilist geotahvlit [8].
1.2 Geotahvli valmistamine
Eesti põhikooli ja gümnaasiumi riiklikku õppekava on kritiseeritud nõrga ainetevahelise
integratsiooni osas. Tihti nõuab see taotlus õpetajalt palju lisatööd ja aega. Töö autor
pakub siinkohal välja suhteliselt lihtsa võimaluse siduda tööõpetust ja matemaatikat.
Tänapäeval on praktiliselt kõike võimalik osta poodidest, nii ka geotahvleid, kuid miks
mitte lasta õpilastel need ise oma kätega teha. Isetegemise kasuks leidub mitmeid
argumente, näiteks:
• geotahvli valmistamise protsess on lihtne ja selleks piisab üldiselt kodu või kooli
tingimustest ning seal leiduvatest materjalidest;
• juba enne matemaatika tunnis kasutama hakkamist saab geotahvli vastu õpilaste
huvi äratada;
• geotahvli valmistamine tööõpetuse tunnis aitab õpilastel paremini näha, läbi oma
kogemuse, et tööõpetuse tundides nad kasutavad väga palju matemaatika
tundidest saadud teadmisi.
11

Geotahvleid võib lasta õpilastel valmistada projektõppe käigus. Mõistlik oleks
moodustada nii tüdrukutest kui ka poistest koosnevad segarühmad, siis kaob probleem,
et tüdrukud peaksid hakkama puutööd tegema.
Järgnevalt lühike juhend, kuidas geotahvli valmistamisega ise edukalt hakkama saada.
Kõigepealt on vaja otsustada, kui suurt ja millise võrgustikuga geotahvlit soovitakse
ning leida või teha sobivad puuplaadid. Kindlasti tuleb silmas pidada, et need
puuplaadid oleksid piisavalt siledad, et hiljem kasutamise käigus mõni laps näiteks
pindu kätte ei saaks. Seejärel saab liikuda naelte asukohtade määramiseks paberist
šablooni tegemise juurde. Selleks on kindlasti suur abi eelnevalt kirjeldatud geotahvli
erinevate tüüpide võrgustike konstruktsioonide kirjeldustest. Paber, millele punkte
(naelte asukohti) märkima hakatakse võib olla tavaline valge paber, ruuduline või
millimeeterpaber. Punktide märkimiseks paberile võib lisaks käsitsi tegemisele kasutada
mõnd arvutiprogrammi (nt GeoGebra) või otsida Internetist sobiv valmis šabloon ja see
välja printida.
Järgmise sammuna tuleks asetada paberist šabloon puuplaadile ja kinnitada see
nurkadest või suurema paberi korral puuplaadi alumisel küljel liimi või knopkadega.
Edasi lüüa punktidega märgitud kohtadesse umbes pool naela pikkusest puuplaadi sisse,
ülejäänud pool naela pikkust peab jääma ülespoole puuplaadi pinda, et nendele oleks
võimalik hiljem pingutada kumme erinevate geomeetriliste kujundite tähistamiseks. Kui
kõik naelad on poolenisti sisse löödud, siis eemaldada soovitavalt šablooni paber.
Erineva suuruse ja värviga kummidega saabki nüüd asuda geotahvlit kasutama.
1.3 Geotahvel geomeetriaõpetuses
Selleks et õppida, tuleb keskenduda, ületada raskusi, end kokku võtta. Õppimine on töö.
Oluline on teada, et täiskasvanu ja lapse töö vahel on suur erinevus. Täiskasvanu töö
eesmärgiks on muuta ümbrust. Laps teeb tööd selleks, et muuta iseennast, kasvada ja
areneda. Kui täiskasvanu suudab sundida vajaduse korral end keskenduma, siis lapsel
selline omadus puudub. Lapsi jälgides jõudis itaalia arst ja pedagoog Maria Montessori
(1870-1952) veendumusele, et lapse keskendumisvõime algab käest. Kui lapse käsi on
hõivatud, voolib või lõikab ta midagi parajasti, ei pane ta ümbruses toimuvat tähele.
12

Keskendumine aitab lapsel saavutada seesmist rahu ja tasakaalu. Õppevahendid peavad
olema sellised, et nendega saab midagi teha, lapsel peab olema võimalus kasutada kätt
intellekti tööriistana. Keskendumisest tulenev seesmine rahu on isiksuse kui terviku
arengu eelduseks. [9]
Geotahvel on just selline praktiline õppevahend, mis annab võimaluse lapsel oma
käsi kasutada, uurimaks selliseid koolimatemaatika geomeetria teemasid nagu
ümbermõõt, pindala, geomeetrilised kujundid ja nende omadused, sümmeetria,
koordinaattasand, nurgad ja nende suurused. See on suurepärane õppevahend just
kinesteetilistele ja visuaalsetele õppijatele, sest nad saavad „teha ja näha“ geomeetriat
[2]. Kui lisada käelise tegevuse juurde ka arutlev vestlus, siis soodustab geotahvel
arusaamist ka auditiivsetel õppijatel.
Geotahvel on väga laiaulatuslik abivahend, mis sobib kasutamiseks lasteaialapsest
gümnasistini ja mille rakendamiseks praktikas ei pea õpetaja arvestama kontsentrilisuse
printsiibiga. Nagu iga uue vahendi korral tuleks ka geotahvlit kasutama asudes lasta
õpilastel algul pisut mängida, et nad saaksid ise uurida ja katsetada uue vahendi
võimalusi.
Geotahvel võimaldab kõige üldisemas plaanis näiteks:
• eksperimenteerimise teel jõuda uutele matemaatilistele tulemustele;
Näide 2. Kolmnurga pindala arvutamine ristküliku pindala abil.
Moodustame esmalt kolmnurga ABC ümber ristküliku ADCE nagu näidatud joonisel 15.
Joonis 15. Kolmnurga pindala leidmine ristküliku pindala abil.
Antud juhul kolnurga ABC pindala saame kui lahutame selle ümber moodustatud
ristküliku ADCE pindalast kolmnurkade ACE ja BDC pindalad. Selleks leiame kahe
viimati nimetatud kolmnurga pindalad tuginedes ristküliku pindala leidmise valemile.
13

Kolmnurk ACE moodustab poole ristkülikust ADCE, seega
S = 0 ,5⋅
S = 0,5⋅
(4⋅
2) = 4 (rü).
∆ACE
ADCE
Kolmnurga BDC pindala on aga poole väiksem ristküliku BDCF pindalast, saame
S = 0 ,5 ⋅ S = 0,5 ⋅ (1 ⋅ 2) = 1 (rü).
∆BDC
BDCF
Nüüd kolmnurga ABC pindala
S = S − 0 ,5 ⋅ S − 0,5 ⋅ S = 8 − 4 −1
= 3 (rü).
∆ABC
ADCE
ADCE
BDCF
Kolmnurga pindala valemit teades on lihtne veenduda, et tõepoolest eelnevalt ristküliku
pindalale toetudes saadud tulemus on õige.
• eksperimenteerida, oma oletust kontrollida ja korrigeerida;
Näide 3. Kolmnurga pindala uurimine kui kolmnurga alus on pikkusega 1 ja kõrgus on
pikkusega 1. Uurimus viib tõdemusele, et kolmnurga pindala võib sõltuda vaid
kolmnurga alusest ja kõrgusest.
Geotahvlile on väga lihtne erinevaid selliseid kolmnurki tekitada, mis rahuldaksid antud
tingimusi.
Joonis 16. Kolmnurga pindala uurimine.
Ristküliku pindalale toetudes on lihtne veenduda, et kõikide erineva kujuga
kolmnurkade pindalad on võrdsed:
S = 1−
0,5 ⋅1
0,5 (rü);
1
=
S = 2 − 0,5 ⋅ 2 − 0,5 ⋅1
0,5 (rü);
2
=
S = 3−
0,5 ⋅3
− 0,5⋅
2 0,5 (rü);
3
=
S = 4 − 0,5⋅
4 − 0,5 ⋅3
0,5 (rü).
4
=
Seega samasuguse aluse ja kõrgusega kolmnurkade pindalad on võrdsed.
14

• manuaalset tegevust, kerget muutmise võimalust, dünaamilisust;
Näide 4. Täisnurkse kolmnurga tekitamine ringtahvlile nii, et ükski komnurga külg ei
asuks horisontaal- või vertikaalsirgel.
Joonis 17. Ringtahvlile täisnurkse kolmnurga konstrueerimine.
Oletame, et õpilane paneb paika ringtahvlile kaks kolmnurga tippu ehk ühe külje
vastavalt mittehorisontaalsesse asendisse. Kolmanda tipu paigutamine aga esimesel
korral pisut ebaõnnestub (vt joonis 17, vasakpoolne konstruktsioon). Nähes või jõudes
arvutuste teel tõdemusele, et geotahvlile tekkinud kolmnurk ei ole kohe mitte
täisnurkne, siis saab ta lihtsa vaevaga võtta vastavast kolmnurga tipust kinni ning
lohistada see õige punkti juurde (vt joonis 17, parempoolne konstruktsioon). Selle
käigus õpilane näeb oma silmaga, kuidas algul saadud nürinurkne kolmnurk muutub
täisnurkseks.
• ülevaatlikkust ja piiratud arvu võimalusi;
Näide 5. Pindalaga 9 ruutühikut ruutude pingutamine 5x5 ruuttahvlile.
Joonis 18. 5x5 ruuttahvlile pingutatud maksimaalne arv ruute pindalaga 9.
Joonise abil võime veenduda, et 5x5 ruuttahvlile on võimalik pingutada vaid 4 ruutu,
mis on pindalaga 9 ruutühikut.
15

• tasandilist esitust, osafiguuride lihtsat äratundmisvõimalust (segavate joonte
nägemist, abijoonte lihtsat lisamist);
Näide 6. Trapetsi pindala leidmine.
Trapetsi pindala leidmine on lihtsa võttega taandatav ristküliku ja kolmnurga
pindala(de) leidmisele. Geotahvli naelte ümber saame pingutada kummi(d) nii, et
trapets jaotuks ristkülikuks ja üheks või kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.
Joonis 19. Trapetsi pindala leidmine otsest valemit kasutamata.
Nüüd kasutades näidet 2, saame vaadeldava trapetsi pindala leida järgmiselt:
S = 0 ,5 ⋅ 3 + 6 + 0,5 ⋅ 9 = 11,5 (rü).
• vaadelda võrdseid kujundeid ja nende omadusi erinevates asendites;
Näide 7. Geotahvel on füüsiliselt piisavalt väike, mistõttu seda on lihtne pöörata või
asetada läbipaistvast materjalist valmistatud geotahvleid üksteise peale veendumaks
näiteks kahele ühesuguse konstruktsiooniga tahvlile pingutatud kujundi võrdsuses.
• püsiomaduste ja erinevuste lihtsat avastamist;
Näide 8. Pingutades geotahvlile palju erinevaid nelinurki, õpilane saab lihtsasti avastada
- püsiomaduse: 4 nurka;
- erinevusi: osadel küljed paralleelsed, osadel võrdsed jne.
• ikoonilise ja enaktiivse tegevuse koordineerimist (eksperimendid ja nende
tulemuste protokollid), ülekandevõimalusi teise mastaapi.
16

Kooligeomeetria puhul tulevad geotahvli kasutusvõimalused eriti hästi esile järgmiste
teemade õpetamisel:
• pindala mõiste – näiteks kolmnurga pindala ristküliku pindalale toetuvalt (vt
näide 2, lk 13), hiljem võimekamatele õpilastele Pick’i valem – kujundi pindala
selle sise- ja rajapunktide arvu kaudu;
• kujundite sümmeetria uurimine – sümmeetria avastamine, sümmeetrilise kujundi
konstrueerimine, sümmeetriatelgede leidmine;
• sirgete paralleelsus – sirgete sama tõus, liikumine koordinaattasandil: sammud
paremale – vasakule, üles – alla, ristseis, ristsirgete tõusude korrutis;
• lõigu pikkus – Pythagorase teoreem, arvutusi juurtega;
• lõigu jaotamine osadeks – samakaugete paralleelide parv geotahvlil, selliste
kujundite uurimine, mille tipud ei asu naelte kohal, seosed arvutustega
murdudega;
• nurga mõiste, erinevad sihid, võrdsed nurgad, sarnased kujundid, nurga tangens,
nurk sirgete vahel.
Geotahvel on hea vahend probleemide püstitamiseks ja nendele lahenduste leidmiseks.
Järgnevas pakume mõningaid probleemseadeid:
• kujundite vaba paigutamine geotahvlile – näiteks arvude, tähtede vaba
paigutamine;
Ülesanne. Konstrueeri sõna Geotahvel kõik tähed eraldi 5x5 ruuttahvlitel. Kas on mõni
eesti tähestiku täht, mida pole võimalik teha?
• teatud kindlate omadustega kujundite leidmine;
Omaduseks võib olla näiteks:
− nurkade arv;
Ülesanne. Konstrueeri korrapärane kuusnurk.
− sümmeetria;
Ülesanne. Konstrueeri nelinurk, millel on 4 sümmeetriatelge.
− suurem / vähem korda.
Ülesanne. Suurenda / vähenda antud kolmnurka 2 korda.
17

• ühe ja sama kujundi pindala ja ümbermõõdu erinevuse uurimine;
Ülesanne. Võrdle ühikruudu pindala ja ümbermõõtu.
• ühe ja sama kujundi pindala ja ümbermõõdu muutuse uurimine;
Ülesanne. Uuri pindala ja ümbermõõdu muutust kujundi joonmõõdete
kahekordistamisel.
• seoste avastamine;
Ülesanne. Tuleta rööpküliku pindala valem kasutades kolmnurga ja ristküliku pindala
valemeid.
• ornamentide ja mustrite konstrueerimine (eriti ilusad on need ringikujulisel
geotahvlil).
Toodud loetelu probleemseadetest ei ole kindlasti lõplik. Esitati vaid mõned võimalikud
näited. Seda nimekirja on võimalus igal õpetajal loovalt täiendada.
18

2 Virtuaalne geotahvel
Caleb Gattengo poolt leiutatud geotahvel oli originaalis valmistatud puuplaadist ning
sellesse poolenisti sisselöödud naeltest, mille ümber sai kummidega geomeetrilisi
kujundeid moodustada. Kui reaalset olukorda klassis ette kujutada, siis pole kahtlust, et
vähemasti osad õpilased leiavad kummidele mõne hoopis lennukama rakenduse kui
lihtsalt naelte ümber pingutamine. Selle vältimiseks või siis puht füüsiliselt geotahvlite
puudumise tõttu on võimalik tahvli idee rakendamise alternatiivse võimalusena
kasutada virtuaalset geotahvlit. Eeldatavalt peaks praeguseks olema kõikides koolides
võimalik kasutada internetiühendusega arvuteid. Käesoleva peatüki eesmärgiks on
tutvustada üht paljudest internetipõhistest geotahvli elektroonilistest variantidest ning
anda ülevaade selle võimalustest.
Töö autori meelest üks paremaid Internetist vabalt kättesaadavaid virtuaalseid
geotahvleid on loodud 1999. aastal alguse saanud projekti raames Utahi Ülikooli
NLVM (National Library of Virtual Manipulatives) arendusmeeskonna poolt. NLVM
kollektsiooni kuulub lisaks erinevate geotahvli tüüpide virtuaalsetele variantidele veel
üle saja veebipõhise tarkvaraprogrammi (Java-applet’i) koos mõnede näiteülesannetega
(inglise keeles). Need on jaotatud teemade (arvud; algebra; geomeetria; suurused;
andmete analüüs ja tõenäosus) ja vanuseastmete järgi rühmadesse. Virtuaalsete
vahendite kasutamine aitab paremini kaasata õpilasi matemaatika õppimise protsessi
ning soodustab õpilastel erinevate matemaatika mõistete ja seoste kiiremat ning
sügavamat omandamist. [10]
Eelnevalt mainitud virtuaalsete vahendite raamatukogu poolt pakutavad erinevate
geotahvli tüüpide elektroonilised variandid leiab järgmistelt veebilehtedelt:
• Ruuttahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_172_g_2_t_3.html
• Ringtahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_127_g_2_t_3.html
• Isomeetriline tahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_129_g_2_t_3.html
• Koordinaattahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_166_g_2_t_3.html
Nende virtuaalsete geotahvlite kasutamiseks on vaja vaid internetiühendusega arvutit,
millesse on installeeritud Java. Viimast saab vabalt alla laadida veebilehelt:
http://www.java.com.
19

2.1 Virtuaalse geotahvli ekraanipilt
Eelnevalt viidatud veebiaadressidelt avaneva virtuaalse geotahvli ekraanipilt (joonis 20)
on järgmine: suurimat ala sellest hõlmab tahvli osa ning selle vasakus ääres asub
nupuriba. Tahvli osal paiknevad punktid (originaalis naelad) vastavalt tahvli tüübi
võrgustiku konstruktsioonile, mida vaatlesime punktis 1.1. Vasakul ääres oleva
nupuriba abil on võimalik tahvlile kumme lisada (Bands), värvida kummi poolt
moodustatud pindu, kustutada tahvlilt kumme ükshaaval (Delete), puhastada tahvel
korraga kõikidest kummidest (Clear) ning lasta programmil arvutada kujundi
ümbermõõtu ja pindala (Measures). Viimane nupp on kasutatav neljast väljapakutud
elektroonilisest variandist vaid ruut- ja koordinaattahvli puhul. Vastukaaluks on aga
virtuaalsete ring- ja isomeetriliste tahvlite puhul võimalik kasutada suurema valikuga
värvipaletti.
Joonis 20. Virtuaalse ruuttahvli ekraanipilt.
20

2.2 Virtuaalse geotahvli kasutusjuhend
Käesolevas peatükis anname esmalt ülevaade eespool tutvustatud virtuaalse geotahvli
konkreetsetest võimalustest ning seejärel kirjeldame täpsemalt, kuidas neid võimalusi
saab realiseerida. Järgnev põhineb eelnevalt viidatud virtuaalsete tahvlite
inglisekeelsetel kasutusjuhenditel.
Virtuaalne geotahvel võimaldab teha järgmisi toiminguid:
• lisada tahvlile kumme;
• pingutada kumme mitmete (rohkem kui kahe) punktide külge;
• eemaldada kumm punkti küljest;
• eemaldada kumm tahvlilt;
• teha suletud kujundeid;
• teha avatud kujundeid;
• värvida pingutatud kummi moodustatud pind;
• puhastada tahvel täielikult;
• mõõta kujundite ümbermõõtu ja pindala (ruut- ja koordinaattahvli korral).
Järgnevas tutvustame detailselt tegevusi, mida ühe või teise ülaltoodud toimingu puhul
tuleb sooritada.
Kummi lisamiseks tuleb vajutada (ja hoida all) hiire klahviga (seejuures vasak ja parem
klahv funktsioneerivad ühte moodi) geotahvli vasakus nurgas oleval Bands nupul, mille
tulemusel ilmub kumm kursori alla. Edasi lohistada kursor geotahvli ühe punkti kohale
ja teha klõps (vabastada hiire klahv). Nüüd on kummi ülemine osa punktiga ühendatud.
Liigutamaks kummi mõne teise punkti külge on vaja klõpsata kummi ülemisel poolel
ning lohistada see soovitud punktini. Kummi pingutamiseks mingi teise punkti külge
tuleb klõpsata kummi alumisel osal ja lohistada see järgmise punktini.
Kummi pingutamiseks kolmanda punkti külge tuleb klõpsata kummi keskosale, sellega
tekitatakse uus punkt. Seejärel lohistada see soovitud geotahvli punktini ja vabastada
hiire klahv ning kolmnurk ongi moodustatud. Nelinurga, viisnurga, jne
konstrueerimiseks tuleb samuti klõpsata ühel hulknurga külge tähistava kummi keskosal
ning lohistada tekitatud punkt järgmise geotahvli punktini.
21

Pingutatud kummi vabastamiseks mõne punkti küljest hoida all klaviatuuri Shiftklahv
ning samal ajal hiirega klõpsata sellele punktile, millele enam ei soovita, et kumm
oleks pingutatud. Selliselt toimides on nüüd tahvlil n-nurga asemel (n-1)-nurk.
Ühe(kaupa) kummi(de) eemaldamiseks klõpsata kõigepealt suvalisel kohal sellel
kummil (kumm peab muutuma rasvasemaks siniseks) ning seejärel ekraani vasakus
ääres asuval nupul Clear või teise võimalusena võib vajutada ka Delete-klahvi
klaviatuuril.
Kinnine ehk suletud kujund on kujund, mille moodustab kinnine murdjoon (lõpp- ja
alguspunkt kattuvad; nt kolmnurk). Suletud kujundi tegemiseks tuleb kasutada ainult
üht kummi, mille peab pingutama kolme või enama punkti külge.
Avatud kujund on kujund, mille moodustab lahtine murdjoon (lõpp- ja alguspunkt ei
kattu; nt lõik, sirge, nurk, murdjoon). Avatud kujundi tegemiseks võib samuti kasutada
vaid ühtainsat kummi või siis mitut kummi, pidades silmas, et vaadeldavat kujundit
moodustava murdjoone lülide kõik tipud poleks paarikaupa ühendatud.
Ühe kummiga määratud pinna värvimiseks tuleb klõpsata kõigepealt selle kujundi
ühel küljel või tipul. Selle tulemusena tähistatakse vaadeldava kujundi küljed rasvasema
sinisega, mis tähendab seda, et kujund on valitud. Nüüd klõpsata ühel värvil virtuaalse
geotahvli vasakus servas asuval paletil ning märgitud kujund omandab valitud värvi.
Geotahvli puhastamiseks vajutada Clear nuppu vasakus ääres ja kõik kummid
kustutatakse.
Kujundi ümbermõõdu ja pindala leidmiseks ruuttahvlil on vaja esmalt see kujund
märgistada (klõpsata kujundi ühel küljel või tipul) ning seejärel vajutada vasakus ääres
asuvat nuppu Measures. Märgistatud kujundi mõõtmistulemused ilmuvad viimati
nimetatud nupu alla tekstikasti. Peale kujundi muutmist on vaja uute mõõtmistulemuste
nägemiseks vajutada uuesti Measures nupule.
Koordinaattahvli puhul pole vaja Measures nuppu üldse vajutada, mistõttu seda ka
ekraanil näha pole. Mõõtmistulemused ilmuvad automaatselt vasaku ääre allossa niipea
kui kumm on pingutatud vähemalt lõiguks. Muutes kujundit, muutuvad automaatselt ka
mõõtmistulemused. Kui tahvlil on mitme kummi poolt pingutatud kujundeid, siis
näidatakse märgistatud pingutatud kummi poolt moodustatud kujundi andmeid.
22

Lihtsaim kujund, mille korral programm mõõtmistulemusi leiab, on lõik. Iseenesest
mõistetavalt lõigu puhul pindala ja ümbermõõt ei oma suurt tähtsust. Seetõttu lõigu
korral kajastatakse tekstikastis selle pikkus (Distance) ning tõus (Slope).
23

3 Töölehti geotahvli kasutamiseks
Geotahvli kasutamise võimalustest üldisemalt oli juttu juba punktis 1.3. Käesoleva
peatüki eesmärgiks on tutvustada mõningaid konkreetseid võimalusi geotahvli
rakendamiseks matemaatika tunnis. Magistriõppe lõputöö raames valmis 17 töölehte
(ühe töölehe pikkus kuni 2 lehekülge), mis on jaotatud järgmiste teemade põhjal nelja
rühma:
• hulknurga pindala ja ümbermõõt (11 töölehte);
- mõiste kujundamine (3 töölehte);
- valemi tuletamine (5 töölehte);
- rakendamine (2 töölehte);
- tükeldamise ja ümbritsemise meetod ( 1 tööleht);
• koordinaattasand (2 töölehte);
• kujundite sümmeetria ja teisendused tasandil (2 töölehte);
• avatud probleemide välju (2 töölehte).
Igale töölehtede grupile eelnevad töö autori kommentaarid.
Suurem osa töölehtedest on mõeldud kasutamiseks 6. klassis, teemade kolmnurga
pindala, koordinaattasand ja sümmeetria käsitlemisel. Esimesi töölehti, pindala ja
ümbermõõdu mõiste kujundamiseks ning ristküliku ja ruudu valemi tuletamiseks, võib
kasutada nii 6. klassis kordamisel kui juba 4.-5. klassis nimetatud teemade õppimisel.
Viimaste töölehtede probleemide uurimiseks üldisel kujul läheb tarvis aga
gümnaasiumiastme õpilase teadmisi.
Töölehtede koostamisel püüti jälgida, et ülesandeid oleks erinevaid ja nende tekstid
sõnastatud võimalikult lihtsalt ja selgelt. Esimese alapunkti töölehed ei sisalda pelgalt
virtuaalsel geotahvlil drillimisülesandeid vaid mõningal määral ka teooriaosa, mis on
esitatud õpilase kaasahaaramiseks lünktekstina. Valemiteni jõutakse töölehe täitmise
käigus tuletamise teel, millele järgnevad rakendusülesanded. Seega sobivad need
töölehed ka uue matejali juurde asumiseks. Teise ja kolmanda alapunkti ülesanded on
pigem õpitu kinnistamiseks ning neljanda osa materjal õpilastele soovitavalt iseseisvaks
uurimiseks.
Koostatud töölehed on eelkõige mõeldud kasutamiseks koos elektroonilise geotahvliga.
Seejuures enamikke ülesandeid saab edukalt lahendada ka füüsilisel geotahvlil. Raskusi
24

tekib töölehe 3.1.5 täitmisega, kus esimese ülesande tekstis palutakse programmil
kujundi pindala leida ja selle põhjal lahendamist jätkata. Töölehtedel 3.1.4, 3.1.7 ja
3.1.8 on alaülesannetes palutud programmil pindala arvutada, kuid need osad võib
õpilastel lasta lihtsalt lahendamata jätta.
Alapunktide 3.1, 3.3 ja 3.4 töölehed on mõeldud rakendamiseks virtuaalse ruuttahvliga
[11]. Koordinaattasandit puudutavate ülesannete lahendamiseks on võimalik kasutada
nii virtuaalset ruut- kui ka koordinaattahvlit [12].
Töölehtedel on ruumi kokkuhoiu mõttes esitatud peamiselt 5x5 geotahvli joonised.
Virtuaalne geotahvel on aga suurusega 11x11. Vajadusel võib lasta õpilastel teha oma
suurele geotahvlile ise väiksem ja see ka näiteks värvida ning alles seejärel suunduda
ülesannete lahendamise juurde.
Virtuaalse geotahvli kasutamisega saab matemaatikatunde vaheldusrikkamateks muuta.
Piret Luige [13] ja Sirje Pihlapi [14] poolt läbi viidud uurimuste põhjal on õpilaste
arvates arvutipõhine õpe huvitavam, lõbusam, kergem ja arusaadavam. See ühtlasi
suurendab õpilaste õpimotivatsiooni ja parandab suhtumist õppeainesse.
3.1 Hulknurga pindala ja ümbermõõt
Vaadeldav alapunkt sisaldab kõige mahukamat osa töölehtedest ja käsitleb peamiselt
teemat pindala. Kuna veel teise kooliastme lõpuski kipuvad õpilastel pindala ja
ümbermõõdu mõisted segi minema, siis toome alguses töölehed mõlema mõiste
kujundamiseks. Käesoleva alapunkti teema pindala (ja ümbermõõt) võime omakorda
jagada neljaks osaks:
• mõiste kujundamine (töölehed 3.1.1 – 3.1.3);
• valemi tuletamine (töölehed 3.1.4 – 3.1.8);
• rakendamine (töölehed 3.1.9 – 3.1.10);
• tükeldamise ja ümbritsemise meetod (tööleht 3.1.11).
Esimesed neli töölehte (3.1.1 – 3.1.4) on mõeldud 6. klassi õpilastele pindala ja
ümbermõõdu mõiste ning ristküliku ja ruudu pindala valemite kordamiseks. Samas võib
neid kasutada juba 4.-5. klassis nimetatud teemade õppimisel.
25

Töölehtedega 3.1.5 – 3.1.8 taotletakse õpilaste jõudmist avastamise-tuletamise teel
kolmnurga pindala valemini. Nende töölehtede kasutamiseks peavad õpilastel olema
eelnevalt selged kolmnurga aluse ja kõrguse mõisted. Tee kolmnurga pindala valemini
näeb välja järgmine. Kõigepealt uuritakse kuidas muutub suvalise kolmnurga pindala
kui muuta tema aluse ja/või kõrguse pikkuseid. Seejärel tuletatakse seos ristküliku
pindala ja täisnurkse kolmnurga pindala vahel meenutades kolmnurkade võrdsuse
tunnust kolme külje järgi. Kinnistamiseks leitakse erinevates asendites paiknevate
täisnurksete kolmnurkade pindalad. Edasi tuletatakse juba täisnurkse kolmnurga pindala
valem, millele järgnevad ülesanded kinnistamiseks. Viimaks tuletatakse pindala valem
suvalise kolmnurga jaoks ning kinnistatakse saadud uut teadmist varasemaga
kõrvutades samuti ülesande lahendamisega.
Töölehtedel 3.1.9 ja 3.1.10 olevate ülesannete lahendamiseks on vaja rakendada
töölehega 3.1.5 omandatud teadmisi. Nelinurgaga pindvõrdse kolmnurga leidmise
ülesanne võib olla jõukohane vaid nutikamatele õpilastele.
Hulknurga pindala leidmise töölehega 3.1.11 näidatakse, et alati ei olegi vaja mingi
kujundi pindala arvutamiseks teada keerulisi valemeid, piisab vaid sellest kui jaotada
esialgne ülesanne väiksemateks osaülesanneteks. Selleks tutvustatakse tükeldamise ja
ümbritsemise meetodeid, mida õpilased saavad hiljem ise erinevate kujundite pindalade
leidmiseks rakendada.
26

3.1.1 Pindala mõiste
Kuidas leida pindala?
Joonisel olev kujund on ühikruut, mille
valime edasises pindalaühikuks.
Ühikruudu küljepikkus on 1 pikkusühik.
Lisa.
Üldiselt võib ühikruut olla ükskõik kui
suur. Näiteks kui ühikruuduks on
Näide. Mingi kujundi pindala leidmiseks
võrreldakse seda kujundit ühikruuduga.
Näiteks allolev kujund koosneb 5
ühikruudust, igaüks küljepikkusega 1
ühik. Järelikult selle plussmärgikujulise
kujundi pindala on 5 ruutühikut.
siis kujundi
pindala on 3 ruutühikut.
Ülesanne 1. Tee iga kujund oma virtuaalsele geotahvlile ja leia tema pindala. Selleks
jaota iga kujund ühikruutudeks ja loe kokku mitmest ühikruudust see koosneb. Iga
ühikruudu tähistamiseks pinguta eraldi kumm ja värvi kujund.
a) Pindala: ............... ruutühikut (rü) b) Pindala: ............... ruutühikut (rü)
c) Pindala: ............... ruutühikut d) Pindala: ............... ruutühikut
e) Pindala: ............... ruutühikut f) Pindala: ............... ruutühikut
27

Ülesanne 2. Pinguta iga skeemil olev kujund oma geotahvlile. Leia nende pindalad
jagades need ühikruutudeks või poolteks ühikruutudeks. Pane kirja mitut ühikruutu iga
kujund sisaldab.
a) Pindala: ............... rü b) Pindala: ............... rü
c) Pindala: ............... rü d) Pindala: ............... rü
e) Pindala: ............... rü f) Pindala: ............... rü
g) Pindala: ............... rü h) Pindala: ............... rü
Ülesanne 3. Pinguta geotahvlile sellised kaks erineva kujuga ristkülikut, mille pindala
on 4 ruutühikut. Joonesta mõlemad eraldi allolevatele geotahvlitele.
Ülesanne 4. Täida lünk.
Kujundi pindala näitab, mitu .................................................. katab täielikult kujundi.
28

3.1.2 Ümbermõõdu mõiste
Kuidas leida ümbermõõtu?
Joonisel olev kujund on ühikruut, mille valisime eelnevalt pindalaühikuks. Ühikruudu
küljepikkus on pikkusühik, mida võime nimetada ka ühiklõiguks.
Näide. Mingi kujundi ümbermõõdu leidmiseks liidetakse tema kõigi külgede pikkused.
Allolevat kujundit piirava joone pikkus koosneb 12-st ühikruudu küljepikkusest ehk 12
ühiklõigust. Järelikult selle kujundi ümbermõõt on 12 pikkusühikut.
Ülesanne 1. Tee iga kujund oma virtuaalsele geotahvlile ja leia mitmest ühiklõigust
koosneb seda kujundit piirav joon.
a) Ümbermõõt: ............. pikkusühikut (pü) b) Ümbermõõt: ............. pikkusühikut (pü)
c) Ümbermõõt: ............... pikkusühikut d) Ümbermõõt: ............... pikkusühikut
e) Ümbermõõt: ............... pikkusühikut f) Ümbermõõt: ............... pikkusühikut
Ülesanne 2. Täida lünk.
Kujundi ümbermõõt näitab, mitmest ................................................................... koosneb
kujundit piirav joon.
29

3.1.3 Kujundi pindala ja ümbermõõt
Ülesanne 1. Pinguta iga kujund oma geotahvlile ja leia ühikruutude abil selle
ümbermõõt ja pindala.
a) Ümbermõõt: ............... pü
Pindala: ............... rü
b) Ümbermõõt: ............... pü
Pindala: ............... rü
c) Ümbermõõt: ............... pü
Pindala: ............... rü
d) Ümbermõõt: ............... pü
Pindala: ............... rü
e) Ümbermõõt: ............... pü
Pindala: ............... rü
f) Ümbermõõt: ............... pü
Pindala: ............... rü
Ülesanne 2. Konstrueeri ristkülikud, mille:
a) pindala on 4 ja ümbermõõt on 10; b) ümbermõõt on 8 ja pindala on 4;
c) ümbermõõt on 10 ja pindala on 6; d) pindala on 16 ja ümbermõõt on 16.
30

3.1.4 Ristküliku ja ruudu pindala valemi tuletamine
Ülesanne 1. Ühikruudu külg on pikkusühik. Olgu ristküliku pikkus a ühikut ja laius b
ühikut. Pindala tähistame tähega S. Pinguta iga kujund oma geotahvlile ja leia otsitavad
suurused ühikruutude loendamise teel.
a)
a = ....................
b = ....................
S = ....................
b)
a = ....................
b = ....................
S = ....................
c)
a = ....................
d)
a = ....................
b = ....................
b = ....................
S = ....................
S = ....................
Ülesanne 2. Täida lüngad.
a) Vaata ülesandes 1 leitud suuruste a, b ja S väärtuseid. Kuidas saad arvude a ja b abil
arvutada ristküliku pindala? Kirjuta vastav valem. ......................................................
Järelikult ristküliku pindala sõltub ristküliku ............................................ ja laiusest.
b) Ristküliku erijuhuks on ruut. Ruudu lähisküljed on ................................. pikkustega.
Järelikult,
ruudu pindala = külje pikkus • ....................................................................
Tähistame ruudu külje pikkuse tähega a, siis ruudu pindala saame arvutada
valemiga:
S = ..... ⋅.....
= a
2
Ülesanne 3. Pinguta järgmised ristkülikud oma geotahvlile ja leia nende pindalad:
a) ühikruutude loendamise teel; b) valemi abil; c) kasutades virtuaalse geotahvli nuppu
Measures.
a) ................................
b) ................................
c) ................................
a) ................................
b) ................................
c) ................................
Ülesanne 4. Kas ristküliku pindala saab arvutada ruudu pindala valemi järgi? ................
Aga ruudu pindala ristküliku pindala valemi järgi? ................
Põhjenda, miks sa nii vastasid.
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
Pea meeles!
Ristküliku pindala = pikkus • laius
S = a • b
Ruudu pindala = külje pikkus • külje pikkus
S = a • a
31

3.1.5 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest
Ülesanne 1. Pinguta oma geotahvlile 5x5 ruut ja konstrueeri
sellele paralleelsed sirged s ja t (vt joonis 1).
Järgnevalt konstrueeri ühe kummi abil kolmnurk KLA ja värvi
see. Seejärel nihuta kolmnurga ülemine tipp punktist A punkti
B, siis punkti C kuni lõpuks punkti E. Iga kolmnurga korral leia
tema alus ning määra aluse ja kõrguse pikkus. Kolmnurga
pindala (ingl. k Area) leidmiseks kasuta geotahvli nuppu
Measures. Ühikruudu pikkus on üks ühik. Märgi tulemused Joonis 1.
tabelisse ja vasta allpool olevatele küsimustele.
Kolmnurk
Kolmnurga
alus
Aluse pikkus
KLA KL 3
KLB KL 3
Kõrguse
pikkus
Kolmnurga
pindala
KLC
KL
KLD 4
KLE
Vasta järgmistele küsimustele tõmmates õigele variandile ringi ümber või täites lünga.
a) Kui nihutad kolmnurga KLA ülemise tipu A vastavalt punktidesse B, C, D ja E, siis
kolmnurga:
• kõrguse pikkus suureneb / väheneb / ei muutu;
• aluse pikkus suureneb / väheneb / ei muutu;
• pindala suureneb / väheneb / ei muutu.
b) Kuidas muutub kolmnurga pindala kui muudame kolmnurga kuju, kuid seejuures
jätame aluse ja kõrguse pikkused muutmata? ........................................................
Saime, et võrdsete aluste ja võrdsete kõrgustega kolmnurkade pindalad on võrdsed.
Seega, kolmnurga pindala võib sõltuda kolmnurga alusest ja kõrgusest. Järgnevates
ülesannetes uurime seda.
Ülesanne 2. Muuda nüüd kolmnurga kõrgust. Nihuta selleks kolmnurga ülemist tippu
punktidesse, mis asuvad ülevalpool ja allpool sirget s (vt joonis 2). Täida tabel ja vasta
küsimustele.
Kolmnurk
Kolmnurga
alus
Aluse
pikkus
Kõrguse
pikkus
KLA KL 3 4
Kolmnurga
pindala
KLF
KL
KLG
Joonis 2.
32

Vasta järgmistele küsimustele või tõmba maha valed vastusevariandid.
a) Kuidas muutub kolmnurga kõrgus kui nihutada kolmnurga ülemine tipp punktist A
punkti F? ............................................
Kuidas muutub samal ajal kolmnurga aluse pikkus? ....................................................
Kuidas muutub kolmnurga KLF pindala võrreldes kolmnurga KLA pindalaga?
............................................................
b) Kui nihutame kolmnurga ülemise tipu punktist A punkti G. Siis kolmnurga:
• alus suureneb / väheneb / ei muutu;
• kõrgus suureneb / väheneb / ei muutu;
• pindala suureneb / väheneb / ei muutu.
c) Kuidas muutub kolmnurga pindala kui suurendame või vähendame kolmnurga
kõrgust?
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
Ülesanne 3. Uuri analoogiliselt ülesandele 2, kuidas muutub kolmnurga pindala aluse
suurendamisel ja vähendamisel kui kolmnurga kõrgus jätta muutmata. Seejärel täida
lüngad.
Kui kolmnurga kõrgus jätta muutmata ja suurendada kolmnurga alust, siis kolmnurga
pindala ................................................ võrreldes esialgse kolmnurgaga.
Kui aga kolmnurga kõrgus jätta muutmata ja vähendada kolmnurga alust, siis
kolmnurga pindala ................................................ võrreldes esialgse kolmnurgaga.
Ülesanne 4. Märgi iga järgmise lause kõrvale, kas see on tõene või väär.
• Kolmnurga pindala jääb samaks kui muudame kolmnurga kuju,
aga ei muuda samal ajal aluse ja kõrguse pikkuseid. .................
• Kui suurendame kolmnurga alust ja kõrgust mõlemat, siis
kolmnurga pindala väheneb. .................
• Kolmnurga pindala suureneb kui aluse pikkuse jätame samaks
ja suurendame kõrguse pikkust. ..................
Ülesanne 5. Täida tabel geotahvli abil. Sümbolite tähendused on toodud tabeli kõrval.
Ühte lahtrisse võib sobida ka kaks sümbolit.
Aluse pikkus Kõrguse pikkus
⎯
↑
↑
↓
⎯
↓
↓
⎯
↑
⎯
Kolmnurga pindala
↑
↓
⎯
↓
↑ - suureneb
↓ - väheneb
⎯ - ei muutu
33

3.1.6 Täisnurkse kolmnurga pindala leidmine ristküliku pindala
meetodil
Ülesanne 1. Täida lüngad.
Konstrueeri geotahvlile täisnurkne kolmnurk ABC. Pinguta sellele teise kummiga
kolmnurk ABD, mis täiendab esialgse kolmnurga ristkülikuni, nii nagu näidatud
joonisel.
Võrdle kolmnurki ABC ja ABD.
Kolmnurkade horisontaalsed küljed (BC ja AD) on ristküliku CBDA vastasküljed ja
seega ......................................... pikkusega.
Kolmnurkade vertikaalsed küljed (AC ja BD) on samuti ristküliku CBDA
......................................... ja seega ......................................... pikkusega.
Kolmnurkade kolmas külg on neil ühine ja seega ......................................... pikkusega.
Kuna kolmnurga ABC kolm külge on vastavalt võrdsed kolmnurga ABD kolme küljega,
järelikult need kolmnurgad on kolmnurkade võrdsuse tunnuse .........................................
põhjal võrdsed. Sellest järeldub, et nende kolmnurkade pindalad on ka
............................................. .
Oleme saanud, et ristküliku diagonaal jaotab ristküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks.
Seega täisnurkse kolmnurga ABC pindala on ............................... ristküliku pindalast.
Ülesanne 2. Pinguta iga täisnurkne kolmnurk oma geotahvlile ja leia selle pindala
ristküliku pindala meetodil. Selleks täienda antud kolmnurk kõigepealt ristkülikuni, leia
selle pindala loendamise teel ja seejärel arvuta kolmnurga pindala.
a)
S = ................ rü
b)
S = ................ rü
c)
S = ................ rü
d)
S = ................ rü
34

3.1.7 Täisnurkse kolmnurga pindala valemi tuletamine
Ülesanne 1. Tuleta valem täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, täida lüngad.
Konstrueeri täisnurkne kolmnurk ABC ja täienda seda teise
kummiga ristkülikuni (vt joonist paremal).
Ristküliku pindala valemit sa juba tead. Vastavalt joonise
tähistusele saad selle kirja panna järgmiselt:
S = .....⋅..... .
CBDA
Et ristküliku diagonaal AB jaotab ristküliku CBDA kaheks ....................................
kolmnurgaks, siis järelikult ühe tekkinud täisnurkse kolmnurga pindala on
............................ ristküliku pindalast. Seega
.....⋅.....
S
∆ABC
= .
2
See tähendab, et täisnurkse kolmnurga ABC pindala võrdub kaatetite poole korrutisega.
Täisnurkse kolmnurga ABC kaatet b on ühtlasi kolmnurga ............................, mille
võime tähistada tähega h. Nüüd saame valemi kirjutada kujul
.....⋅.....
S
∆ABC
= .
.....
Ülesanne 1. Pinguta järgmised täisnurksed kolmnurgad geotahvlile ning leia nende
kolmnurkade pindalad valemi abil. Kolmnurkade mõõtmed loe jooniselt.
a)
b)
c)
..... ⋅.....
S = = ............... rü
.....
d)
..... ⋅.....
S = = ............... rü
.....
e)
..... ⋅.....
S = = ............... rü
.....
f)
..... ⋅.....
S = = ............... rü
.....
..... ⋅.....
S = = ............... rü
.....
..... ⋅.....
S = = ............... rü
.....
Kui ühikruudu pikkus on üheks pikkusühikuks, siis üheks pindalaühikuks on
...........................(mille?) .............................(mis?) .
35

Ülesanne 2. Pinguta järgmised täisnurksed kolmnurgad geotahvlile ning leia nende
pindalad kolmel viisil:
1) ristküliku pindala meetodil;
2) valemi abil;
3) nupuga Measures .
a) Ristküliku pindala meetodil: S = ................... rü
Valemi abil: S = ................... = ................... rü
Nupuga Measures: S = ................... rü
b) Ristküliku pindala meetodil: S = ................... rü
Valemi abil: S = ................... = ................... rü
Nupuga Measures: S = ................... rü
c) Ristküliku pindala meetodil: S = ................... rü
Näpunäide. Vaatle eraldi punktiiriga eraldatud kaht täisnurkset
kolmnurka.
Valemi abil: S = ................... = ................... rü
Nupuga Measures: S = ................... rü
d) Ristküliku pindala meetodil: S = ................... rü
Valemi abil: S = ................... = ................... rü
Nupuga Measures: S = ................... rü
Ülesanne 3. Kuidas on seotud alaülesannetes c) ja d) olevate kolmnurkade pindala ja
nende ümber pingutatava vähima ristküliku pindala?
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
36

3.1.8 Suvalise kolmnurga pindala valemi tuletamine
Ülesanne 1. Pinguta oma geotahvlile ristkülik külgedega 7 ja 4 ühikut ning selle sisse
kolmnurk nagu näidatud joonisel:
Täida lüngad või selgita.
a) Mõõda ristküliku ja kolmnurga pindalad (ingl. k Area) kasutades nuppu Measures.
Ristküliku pindala: ............... ruutühikut
Kolmnurga pindala: ............. ruutühikut
Mitu korda ja kuidas erineb kolmnurga pindala ristküliku pindalast?
.......................................................................................................................................
b) Liiguta nüüd kolmnurga ülemist tippu mööda ristküliku ülemist serva ja mõõda igal
sammul kolmnurga pindala. Mida märkad?
.......................................................................................................................................
c) Võta uus kumm ja kinnita see kolmnurga ülemise tipu külge. Teine ots pinguta
ristküliku alumise küljeni nii, et pingutatud kumm jääks risti kolmnurga alusega.
Viimati pingutatud kumm tähistab kolmnurga ........................................ ja see jaotab
esialgse kolmnurga kaheks ......................................(mis liiki, nurkade järgi?) kolmnurgaks,
mille pindalasid juba oskad leida. Järelikult esialgse kolmnurga pindala saad kui
leiad nende kahe täisnurkse kolmnurga pindalad eraldi ning tulemused
............................................. . Tee seda.
Vaata paremal asuvat joonist.
Kolmnurga OPR aluseks on külg ................ ja lõik SR
on siis selle kolmnurga .............................................. .
Leia joonise abil järgmised pikkused.
OS = ........; SP = .......;
OS + SP = a = ........; SR = h = ........ .
Arvuta täisnurksete kolmnurkade OSR ja RSP pindalad:
..... ⋅.....
S
∆OSR
= = ...... (rü);
.....
..... ⋅.....
S
∆RSP
= = ...... (rü).
.....
Kolmnurga OPR pindala saad nüüd kui liidad nende kolmnurkade pindalad kokku,
S = ...... + ...... = ...... (rü).
∆OPR
37

Samale tulemusele jõuad kui ühendad kaks võrdust:
(.....
+ .....)
..... ⋅.....
..... ⋅.....
..... ⋅.....
+ ..... ⋅.....
⋅.....
S
∆OPR
= S
∆OSR
+ S∆RSP
= + =
=
=
..... ..... .....
.....
..... ⋅.....
= .
2
Vaata viimase võrduse algust ja lõppu. Sa näed, et kolmnurga OPR pindala
arvutamiseks tuleb kolmnurga alus korrutada tema kõrgusega ja tulemus jagada
kahega. Veendu selles vaadates kolmnurga OPR aluse ja kõrguse pikkuseid.
Seega, kolmnurga pindala võrdub aluse (a) ja kõrguse (h) poole korrutisega. Valemi
võid kirjutada kujul
.....⋅.....
S = .
.....
Ülesanne 2. Pinguta iga kolmnurk oma geotahvlile ja leia selle pindala kahel viisil:
valemi abil ja ristküliku pindala meetodil.
a)
..... ⋅.....
S = = ............. rü
.....
b)
..... ⋅.....
S = = ............. rü
.....
S = .............................. rü
S = .............................. rü
c)
d)
..... ⋅.....
S = = ............. rü
.....
..... ⋅.....
S = = ............ rü
.....
S = .............................. rü
S = .............................. rü
e)
f)
..... ⋅.....
S = = ........... rü
.....
..... ⋅.....
S = = ............. rü
.....
S = ............................. rü
S = .............................. rü
Kontrolli oma tulemusi virtuaalse geotahvli nupu Measures abil.
38

3.1.9 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest (rakendus)
Ülesanne 1. Joonisel on kujutatud Madli ja Heli vanaemade põllulapid. Kahe põllu
vahel on aed, mis vajab väljavahetamist.
a) Kui suur on Madli vanaema põllupindala? ......................................
b) Kui suur on Heli vanaema põllupindala? ......................................
Vanaemad tahaksid vana nurgelise aia asendada sirgjoonelise aiaga. Seejuures
kummagi põllu pindala ei tohi muutuda ning üks vana aia äärepostidest peab jääma
samale kohale. Olles ise hätta jäänud palusid nad Madlilt ja Helilt abi. Peale väikest
mõttetööd jõudsid mõlemad tüdrukud erinevate lahendusteni, mis aga mõlemad
rahuldasid vanaemade soove.
c) Leia sinagi vähemalt 2 võimalikku lahendust ja joonista need.
Näpunäide: Kasuta töölehe 3.1.5 ülesande 1 ideed.
d) Kumb uutest aedadest on lühem? Kas see on lühem ka esialgsest aiast?
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
39

3.1.10 Nelinurgaga pindvõrdse kolmnurga leidmine
Ülesanne 1. Pinguta allolevad nelinurgad oma geotahvlile. Tekita saadud nelinurkadest
nendega pindvõrdsed kolmnurgad. Seejuures kolmnurga saamiseks võid nelinurgal
nihutada vaid üht tippu.
Näpunäide: Kasuta paralleelsete sirgete vahel asuva kolmnurga ideed. Vaata esimese
alaülesande a) joonisel olevaid abijooni. Vajadusel pinguta oma geotahvlile
paralleelseid sirgeid tähistavad kummid.
Püüa leida c), d) ja e) puhul rohkem kui üks sellist kolmnurka, mis erineva kujuga ja
antud nelinurgaga sama pindalaga. Kontrolli, kas pindala jäi ikka endiseks ja seejärel
joonesta erinevaid võimalikke variante kolmnurkadest tühjadele joonistele.
a)
b)
c)
d)
e)
40

3.1.11 Hulknurga pindala
Ülesanne 1. Leia joonisel oleva nelinurga pindala.
S = ..................... rü
Sellise kujundi pindala ei oska ilmselt sa veel leida, kuna usud, et ei tea seda valemit.
Vahel aitab eesmärgini jõuda ülesande jaotamine väiksemateks osadeks. Selle
mõistmiseks uuri järgmist kaht meetodit hulknurga pindala leidmiseks. Seejärel proovi
esialgne küsimus ära lahendada.
Näide 1. Jaotame selle kujundi
väiksemateks osadeks, millede pindala
oskame leida. Seejärel leiame pindalad
ja liidame tulemused. Uurime järgmise
kujundi pindala leidmist.
Siin on esialgne
kujund jaotatud
viieks väiksemaks
kujundiks, leitud
nende pindalad
ning tulemused
liidetud. Kogu
kujundi pindala
on seega 7 rü.
Näide 2. Teisel juhul moodustame
vaadeldava kujundi ümber ristküliku ja
leiame selle pindala. Seejärel lahutame
otsitavasse kujundisse mittekuuluvate
osade pindalad.
Antud juhul on
kujundi ümber
moodustatud
ristkülik (ruut)
pindalaga 16 rü.
Kujundist väljapoole
jääva osa
pindala on 8 rü,
seega kujundi
enda pindala ka
8 rü.
Ülesanne 2. Konstrueeri allolevad kujundid oma geotahvlile ja leia nende pindalad.
Vasakpoolsel joonisel oleva kujundi pindala leidmiseks kasuta näites 1 ja parempoolsel
joonisel näites 2 vaadeldud võtet.
Pinguta tahvlile lisakumme osakujundite tähistamiseks. Joonesta osakujundeid
tähistavad lõigud ka lehel olevatele kujunditele näitamaks, kuidas sa kujundi osadeks
jaotasid.
S = ..................... rü
S = ..................... rü
41

Ülesanne 3. Konstrueeri iga allolev kujund oma geotahvlile ja leia tema pindala. Kasuta
selleks näidetes 1 või 2 tutvustatud meetodit omal valikul. Pinguta tahvlile lisakumme
osakujundite tähistamiseks. Joonesta osakujundeid tähistavad lõigud ka lehele
näitamaks, kuidas sa kujundi osadeks jaotasid.
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
S = ..................... rü
42

3.2 Koordinaattasand
Meie riiklikus õppekavas on kirjas, et 6. klassi lõpetaja oskab määrata punkti asukohta
koordinaattasandil ja lugeda koordinaattasandil asuva punkti koordinaate [4]. Kuigi
geotahvlile otseselt punkte märkida ei saa, siis lõikude moodustamise või ühe kummiga
etteantud punktidega hulknurga tekitamisega, on võimalik geotahvli abil meie
õppekavas nimetatud oskusi siiski arendada. Selles punktis on toodud ülesannetest
näiteid kahel töölehel. Töölehtede kasutamise eelduseks on esmased teadmised
koordinaattasandist, punkti kandmisest koordinaattasandile ning koordinaattasandil
asuva punkti koordinaatide lugemisest.
Töölehe 3.2.1 abil harjutatakse punkti asukoha määramist koordinaattasandil kahe antud
punkti külge kummide pingutamise teel ning lisaks punkti nihutamisel tema uute
koordinaatide lugemist.
Kummiga punktide märkimine geotahvlile on otseselt võimatu. Kuid hulknurgaga, mille
tippudeks on vastavad punktid, on punktide tähistamine põhimõtteliselt võimalik. Seda
on demonstreeritud töölehe 3.2.1 ülesandega 3.
Töölehe 3.2.2 ülesanded seovad koordinaattasandi teema eelnevalt õpitud teadmistega
kujundi pindala leidmisest tükeldamismeetodiga, ruudu omadustest ning ümbermõõdu
leidmisest.
Nimetatud töölehed on kasutatavad nii virtuaalse ruut- [11] kui ka koordinaattahvliga
[12]. Erinevuseks on see, et koordinaattahvli korral on teljed juba tahvlil olemas ning
hiirega punktile liikudes näitab programm vastava punkti koordinaate ekraanil.
Ruuttahvlit kasutades tuleb pingutada esmalt tahvli keskele horisontaalne ja vertikaalne
sirge ja seejärel asuda ülesandeid lahendama. Ise teljestiku märkimine ruuttahvlile
tähendab, et sel juhul ei näita programm punktide koordinaate ekraanile.
43

3.2.1 Koordinaattasand
Ülesanne 1. Ühenda geotahvlil lõikude moodustamiseks paarikaupa omavahel
järgmised punktid: (-2; 1) ja (1; 4), (1; 4) ja (1; -2) ning (1; -2) ja (-2; 1).
Missugune kujund tekkis? .............................................................................................
Ülesanne 2. Ühenda oma geotahvlil allolevate ridade kaupa punktid järjest kummidega
(eelmise rea viimast ja järgmise rea esimest punkti omavahel kummiga mitte ühendada):
(-2; 4), (-4; 2), (-4; 4), (-2; 4), (2; 4), (4; 2), (4; 0), (2; 4), (2; 0), (-2; 0), (-2; 4);
(-4; 0), (-2; -2), (0; 0), (2; -2), (2; -4), (-2; -4), (-2; -2);
(2; -2), (4; -2), (4; -4), (2; -4);
(-2; -2), (-4; -2), (-4; -4), (-2; -4).
Joonesta geotahvlile tekkinud pilt lehele.
Millist looma on joonisel kujutatud? ..................................................................................
Ülesanne 3. Jaan otsustas rajada aia ning istutada sinna õuna-, pirni- ja ploomipuud.
Täpsema ülevaate saamiseks tegi ta plaani koordinaattasandile. Puude asukohad olid
vastavalt (0; 2), (3; -1) ja (2; 4). Tema naine Maria soovitas mehel kõikide puude
asukohti nihutada joonisel 2 ühikut vasakule ja 3 ühikut alla, et puud ei jääks ette
rajatavale kõnniteele. Leia virtuaalset geotahvlit kasutades puude uued asukohad.
Näpunäide. Moodusta puude algsete
asukohtade koordinaatide põhjal kolmnurk
ja seejärel nihuta mõttes selle kõiki tippe
vastavalt ülesandele ning pinguta
geotahvlile uus kolmnurk.
Vastus. Vastavalt koordinaattasandil olevale
plaanile on puude uued koordinaadid
järgmised:
õunapuu: ( ...... ; ...... );
pirnipuu: ( ...... ; ...... );
ploomipuu: ( ...... ; ...... ).
44

3.2.2 Koordinaattasand, ümbermõõt ja pindala
Ülesanne 1. Ühenda punktid (-5; 5), (-2; 2), (-2; -3), (-5; -5), (2; -5), (2; 2), (5; 5),
(-5; 5) järjest kummidega. Leia saadud kujundi pindala (tükelda kujund sulle
tuttavamateks osakujunditeks ja arvuta). Joonesta punktide ühendamisel saadud kujund
lehele.
Selle kujundi pindala on ................ ruutühikut.
Ülesanne 2. Ruudu kahe vastastipu koordinaadid on (1; -1) ja (-3; 3).
a) Konstrueeri ühe kummi abil ruut oma geotahvlile. Pinguta kõigepealt kumm
antud kahe punkti vahele ja seejärel seesama kumm ruudu ülejäänud kahe tipuni.
b) Ruudu ülejäänud kahe tipu koordinaadid on: ( ...... ; ......) ja ( ...... ; ......).
c) Ruudu ümbermõõt on ................ pikkusühikut ja pindala ................ ruutühikut .
d) Joonesta konstrueeritud ruut lehele.
45

3.3 Kujundite sümmeetria ja teisendused tasandil
Ruumikujutlus on meie igapäevaelu lahutamatu osa. See on üks kesksetest võimetest,
mis mõjutab meie ettekujutust ümbritsevast maailmast ja suhtlemist sellega. Mitmed
inimese intelligentsust kirjeldavad mudelid ja testid annavad tõestust sellest, et
ruumikujutlus on osa inimese intelligentsusest. Näiteks H. Gardner eristab oma
praktilise intelligentsuse mudelis kaheksat intelligentsuse tüüpi: lingvistiline, loogilismatemaatiline,
ruumiline, kehalis-kinesteetiline, muusikaline, interpersonaalne,
intrapersonaalne ja naturalistlik intelligentsus [15].
6. klassi õpikus [16] on teema Sirge suhtes sümmeetrilised kujundid, mille kohta
teadmisi küll otseselt teise kooliastme matemaatika ainekava ei nõua. Ruumikujutluse
arendamise seisu kohalt oleks selle teema käsitlemine siiski vajalik, sest sümmeetria
tasandil on eeltööks sümmeetriale ruumis. Tööleht 3.3.1 pakub vähestele
õpikuülesannetele lisaks harjutusülesandeid kujundite peegeldamise, sümmeetriatelgede
leidmise ning etteantud sümmeetriatelgede arvuga kujundite konstrueerimiseks. Need
ülesanded on mõeldud geotahvli abil pigem materjali kinnistamiseks kui sissejuhatavaks
osaks.
Tööleht 3.3.2 pakub lisaks võimalust tasandiliste kujundite pööramise harjutamiseks
ümber selle punkti. Eelmisest enam nõuavad selle töölehe ülesanded ettekujutusvõimet
määramaks kahemõõtmeliste objektide asendit pärast pööret. Olenevalt õpilaste
tasemest võivad need ülesanded olla jõukohased vaid osadele.
46

3.3.1 Sirge suhtes sümmeetrilised kujundid
Ülesanne 1. Pinguta kõigepealt joonisel olev kujund ja sirge oma geotahvlile. Seejärel
peegelda see kujund mõttes sirgest ja pinguta uue kummiga saadud kujutis. Lõpuks
joonesta peegeldatud kujutis ka lehele.
Ülesanne 2. Joonesta peegeldustelg kujundi ja selle kujutise jaoks.
47

Ülesanne 3. Pinguta allolevad kujundid geotahvlile ning leia millised neist on
telgsümmeetrilised? Pinguta neile sümmeetriateljed. Joonesta leitud sümmeetriateljed
ka lehele.
Ülesanne 4. Pinguta geotahvlile nelinurk, millel:
1) pole sümmeetriatelgi;
2) on üks sümmeetriatelg;
3) on 2 sümmeetriatelge;
4) on 4 sümmeetriatelge.
Kui oled sellised kujundid leidnud, siis joonesta need lehele koos sümmeetriatelgedega.
Vajadusel vähenda kujundi mõõtmeid.
1) 2) 3) 4)
48

3.3.2 Kujundi pööramine ümber selle punkti
Ülesanne 1. Konstrueeri iga kujund oma geotahvlile ja pööra mõttes seda ümber
joonisel suuremana näidatud punkti vastava nurga võrra. Pinguta uue kummiga saadud
kujutis. Säilita seejuures esialgne kujund. Visanda lõppasendis kujund lehel olevale
joonisele.
a) Päripäeva 180° b) Päripäeva 90°
c) Vastupäeva 270° d) Päripäeva 270°
Ülesanne 2. Pinguta geotahvlile üks nelinurk. Pööra seda vabalt valitud tipust 270°
päripäeva ning pinguta saadud kujutis. Säilita seejuures esialgne nelinurk. Nüüd pööra
esialgset nelinurka samast tipust (millest pöörasid teda enne 270°) 90° vastupäeva.
Milline on saadud kujutiste omavaheline asend?
.............................................................................................................................................
49

Ülesanne 3. Joonisel on all vasakul pingutatud 2 x 1 ristkülik ja selle diagonaal vasakult
ülalt paremale alla. Konstrueeri samasugune ristkülik oma geotahvli alumisele osale
ning vii läbi järgmised toimingud.
1) Pööra kujund mõttes ümber parempoolse alumise tipu 90° päripäeva. Pinguta
pööramise tulemusel saadud ristkülik ja selle vastav diagonaal. Säilita seejuures
esialgne kujund.
2) Pööra saadud ristkülikut jällegi 90° päripäeva, nüüd aga ümber parempoolse
ülemise tipu, ja pinguta see.
3) Tee saadud kujundiga ka kolmas 90° - ne päripäeva pööre. Seekord ümber
vasaku ülemise tipu.
4) Skitseeri saadud pilt allolevale joonisele.
Millise kujundi moodustavad saadud ristkülikute diagonaalid?
.............................................................................................................................................
50

3.4 Avatud probleemide välju
Meie praeguse õppekava kohaselt on matemaatikaõpetuse üks kolmest põhilisest
ülesandest äratada ja säilitada huvi matemaatika vastu, luua positiivne suhtumine
matemaatikaga tegelemisse ja tagada ühtlasi matemaatikas andekate õpilaste võimete
takistamatu areng [4]. Töö autor näeb ühe võimalusena selleks avatud ülesannete
kasutamist. Käesolevas punktis pakume kaht näidet geotahvliga seotud avatud
ülesannete kohta. Võimalikke näited probleemide püstitamiseks geotahvlil vaatlesime
ka juba eelnevalt punktis 1.3 (lk 17-18).
Töölehtede 3.4.1 ja 3.4.2 eesmärgiks on suunata õpilasi uurima, kui palju saab
maksimaalselt geotahvlile lõike ja ruute konstrueerida. Probleemiga tegelema asumisel
tekib järjest juurde üha uusi küsimusi ja nüansse, mida alguses ette ei nähtud. Nende
ülesannete võlu seisneb selles, et probleemi saab esitada nii põhikooli- kui
gümnaasiumiastme õpilastele (eeldusel, et neil endil juba avastatud pole). Viimased
saavad loomulikult oma lahendustega liikuda kaugemale. Avatud ülesanded üldiselt, sh
siin pakutud variandid, võimaldavad arvestada ka sama vanade õpilaste individuaalseid
iseärasusi – võimekamatel õpilastel on võimalik liikuda kaugemale, tungida sügavamale
matemaatikasse; nõrgemad õpilased saavad tegeleda samas aga lihtsamate küsimustega.
Õpetajal võiks olla suunav roll probleemide tekitamiseks, tuues võimalikke näiteid ja
julgustades õpilasi neid ise otsima, oletusi tegema, uurima ja kontrollima. Nii saab
õpilane tegeleda lisaks traditsioonilisemale õppele ka sellega, mis temale selles
valdkonnas rohkem huvi pakub. P.Põld [17] on oma tekstides kirjutanud: „Oma
äranägemise peal põhinevat teadmist ei õpita teistelt, see kasvab inimeses endas, ta on
tema enese äratundmise vili. See teadmine teeb hinge suuremaks ja rikkamaks, paneb ta
uute küsimuste sünnitamisel liikuma, kihutab teda otsima, paremat püüdma.“
51

3.4.1 Lõigud geotahvlil
Ülesanne 1. Olgu lühim vahemaa geotahvli kahe naela vahel üks ühik. Kui palju ühiku
pikkusega lõike saab konstrueerida? Selle probleemi lahendamist on ilmselt otstarbekas
alustada väiksemamõõdulistest geotahvlitest.
a) Leia, kui palju ühe ühiku pikkuseid lõike on võimalik konstureerida erinevas
suuruses geotahvlitele? Täida tabel.
Geotahvli
suurus
Lõikude
arv
2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 10x10
Kui palju sellise pikkusega lõike sa saad paigutada n x n geotahvlile?
............................................................................................................................................
b) Nüüd tee geotahvlile ühikruudu diagonaali pikkusega lõik (vt joonis). Kui palju
sellise pikkusega lõike saad konstrueerida erinevas suuruses geotahvlitele? Uuri ja
täida tabel.
Geotahvli
suurus
Lõikude
arv
2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 10x10
Kui palju sellise pikkusega lõike sa saad paigutada n x n geotahvlile?
............................................................................................................................................
52

c) Nüüd tee lõik, mis on kahest ühikruudust koosneva ristküliku diagonaali pikkune.
Kui palju saad konstrueerida sellise pikkusega lõike? Täida analoogiliselt eelnevas
tehtule ka tabel.
Geotahvli
suurus
Lõikude
arv
3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 10x10
Kui palju sellise pikkusega lõike sa saad paigutada n x n geotahvlile?
............................................................................................................................................
d) Seda protsessi võib jätkata igasuguse pikkusega lõikudega. Kasuta allolevat
punktipaberit ja uuri lahendust järgmistele üldisematele probleemidele.
Kui palju lõike saab konstrueerida n x n geotahvlile, kus iga lõik on:
1) ristküliku, mõõtudega a ja b ühikut, diagonaali pikkusega?
.................................................................................................................................
2) ruudu, küljepikkusega a ühikut, diagonaali pikkusega?
.................................................................................................................................
53

3.4.2 Ruudud geotahvlil
Ülesanne 1. Kui palju ruute saab konstrueerida geotahvlile? Selle probleemi
lahendamiseks on vaja kaaluda ilmselt kõiki võimalikke ruutude suuruseid ja
positsioone geotahvlil.
Ruutude paigutamiseks geotahvlile on 2 võimalust: ruudu küljed kas on või ei ole
paralleelsed geotahvli naelte ridadega (uuri näidet 3x3 geotahvli korral).
Et lahendada probleem kogu selle üldkehtivuses, peame uurima seda erinevate geotahvli
suuruste korral. Alusta uurimist väiksematest geotahvlitest. Liigu järkjärgult järjest
suuremate geotahvlite juurde.
Näide. 2x2 geotahvlile saame konstrueerida vaid ühe ruudu ja selle küljed on
paralleelsed geotahvli naelte ridadega.
3x3 geotahvlile saame konstrueerida kokku 6 erineva suuruse ja positsiooniga ruute
nagu näidatud joonisel:
a) Leia nüüd sina kõik erinevad ruudud, mida on võimalik teha 4x4 ruuttahvlile. Alusta
naelte ridadega paralleelsete ruutude leidmisest; seejärel leia kõik erinevad ruudud,
mis ei ole naelte ridadega paralleelsed. Joonesta erineva suuruse ja positsiooniga
ruutudest näited allolevatele joonistele ja kirjuta iga joonise alla kui palju selliseid
ruute saab kokku erinevatesse kohtadesse paigutada.
Kokku: ....... Kokku: ....... Kokku: ....... Kokku: ....... Kokku: .......
b) Leia nüüd analoogiliselt eelnevaga kõik võimalused 5x5 ruuttahvlile
konstrueeritavate ruutude puhul.
Kokku: ....... Kokku: ....... Kokku: ....... Kokku: .......
54

Kokku: ....... Kokku: ....... Kokku: ....... Kokku: .......
c) Kasuta oma uurimuse tulemusi alloleva tabeli täitmiseks ja laienda neid 6x6, 7x7,
8x8, 9x9 ja 10x10 geotahvlite jaoks.
Geotahvli
suurus
Paralleelsed põhjaga
Mitteparalleelsed põhjaga
Erinevaid Kokku Erinevaid Kokku
Kõik
KOKKU
1x1 0 0 0 0 0
2x2 1 1 0 0 1
3x3 2 5 1 1 6
4x4
5x5
6x6
7x7
8x8
9x9
10x10
55

Kokkuvõte
Käesoleva magistriõppe lõputöö eesmärgiks oli tutvustada praktilist õppevahendit
elementaargeomeetria õpetamiseks ja tuua konkreetseid näiteid selle
rakendusvõimaluste kohta töölehtedena.
Esimeseks probleemiks oli sellele vahendile võimalikult eestipärase nimetuse leidmine.
Peale mõnedes erinevates keeltes nimetuste uurimist ja võrdlemist reaalselt eseme
väljanägemise ning kasutusalaga otsustas töö autor kasutada selle õppevahendi
nimetamiseks terminit geotahvel.
Töö koosneb kolmest peatükist. Esimeses peatükis tuuakse geotahvli tutvustus,
näpunäited geotahvli valmistamiseks ning ülevaade geotahvli kasutusvõimalustest
geomeetriaõpetuses. Teises peatükis pakutakse välja üks võimalikest Internetist vabalt
kättesaadavatest geotahvli elektroonilistest variantidest ja antakse selle kasutusjuhend.
Kolmas, kõige mahukam, peatükk sisaldab töö autori poolt koostatud 17 töölehte,
milleks mõtteid ja tuge on saadud matemaatika õpikutest, loengukursusest „Aktiivõppe
meetodid koolimatemaatikas“ ja Internetist. Töölehed on eelkõige mõeldud
kasutamiseks just virtuaalse (ruut)geotahvliga ja peamiselt 6. klassi õpilastele, teemade
kolmnurga pindala, koordinaattasand ja sümmeetria käsitlemisel.
Töö käigus ilmnes, et geotahvel pakub suurepäraseid võimalusi ainetevaheliseks
integratsiooniks. Sidumaks tööõpetust ja matemaatikat, saab lasta õpilastel geotahvlid
ise teha. Nende valmistamine ei ole keeruline ja selleks toodi töös lühike
valmistamisjuhend. Koostatud töölehed on mõeldud kasutamiseks virtuaalse
geotahvliga, seega nende rakendamine eeldab algtasemel arvutikasutusoskust. Kuna
kasutatav programm on inglisekeelne, siis mõned ainealased mõisted võivad õpilased
omandada matemaatika tunnis ka inglise keeles.
Käesolevas töös käsitletu ei ole kaugeltki ammendav. Töö autoril oli veel mõtteid, kuid
töö maht seadis omad piirid ja tuli teha valik. Seega antud magistriõppe lõputööd on
kindlasti võimalik edasi arendada. Töö autori meelest on huvitavad teemad geotahvlil
uurimiseks veel näiteks Pick’i valem kujundi pindala leidmiseks, Pythagorase teoreem,
nurk tasandil jt.
56

Using the geoboard in teaching basic school geometry
Anu Kuld
Summary
The purpose of the present paper is to introduce geoboard – a hands-on learning tool for
teaching geometry topics such as perimeter, area, geometric properties of figures,
symmetry, coordinates and angles. The paper also gives some particular examples about
how it is possible to use the tool in the form of activity sheets. In Estonian, this paper
calls the manipulative geotahvel.
Originally, geoboards were typically made of wood with nails driven half way in and
used with elastic bands to form figures with the nails. Now they are also available in
plastic.
The first chapter describes the geoboard and observes three types of geoboards for
exploring two-dimensional figures and one type for exploring three-dimensional
figures. Since a geoboard is easy to make, short instructions how to make one are given.
After that an overview about the possibilities of using the geoboard in teaching
geometry is given, along with explaining examples.
The second part introduces one of the electronic versions of the geoboard that is widely
available on the Internet. Here too instructions for use are given.
The third chapter is the most substantial. It includes 17 activity sheets, constructed by
the author of this paper. These are designed to be used with the virtual geoboard and
touch upon such 6th grade topics as triangle area, coordinates and symmetry. Two open
problems show that, using the geoboard assignments, sufficiently difficult tasks can also
be constructed for high school students.
57

Kasutatud kirjandus
[1] Ballew, P. Math words, and some other words, of interest.
URL http://www.pballew.net/arithm14.html#geoboard (30.05.2009)
[2] Coumans, J. Geoboards.
URL http://faculty.uoit.ca/kay/courses/tools/manip/
Geoboard_assignment_handout_JC.pdf (30.05.2009)
[3] Zieja, M. Exploring and Understanding Area with Geoboards.
URL http://www.wsc.ma.edu/renesse/teaching/M150/Fall2007/projects/
geoboards_maria.doc (30.05.2009)
[4] Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava, 2002.
URL http://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=12888846 (30.05.2009)
[5] Riives, S., Ruubel, A. 1979. Aksonomeetria: näidisülesannete lahendamisega. Tartu.
[6] Kruusimaa, H., Helinurm, A. Aksonomeetria.
URL http://www.e-uni.ee/kutsekeel/joonestamine/aksonomeetria.html (30.05.2009)
[7] Helinurm, A. Õppematerjal: Joonestamine isomeetrias.
URL http://helinurm.tpt.edu.ee/malused/acad/tund17t.PDF (30.05.2009)
[8] Virtuaalne isomeetriline geotahvel.
URL http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_129_g_2_t_3.html (30.05.2009)
[9] Meister, I. 1994. Avastagem laps. Tallinn: Valgus.
[10] National Library of Virtual Manipulatives.
URL http://nlvm.usu.edu/en/NAV/index.html (30.05.2009)
[11] Virutaalne ruuttahvel.
URL http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_172_g_2_t_3.html (30.05.2009)
[12] Virtuaalne koordinaattahvel.
URL http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_166_g_2_t_3.html (30.05.2009)
[13] Luik, P. 2004. Drillprogrammide eksperimendi aruanne Tiigrihüppe Sihtasutusele.
URL http://www.tiigrihype.ee/static/files/14.drilliaruanne.doc (30.05.2009)
[14] Pihlap, S. 2006. Arvutite kasutamise mõjust funktsioonide õpetamisel 7.klassis.
Koolimatemaatika, XXXIII. Tartu: TÜ kirjastus.
[15] Krull, E. 2000. Pedagoogilise psühholoogia käsiraamat. Tartu: TÜ kirjastus.
[16] Kaasik, K., Cibulskaitė, N., Stričkienė, M. 2001. Matemaatika 6. klassile. Tallinn:
Avita.
[17] Põld, P. 1993. Valitud tööd I. Tartu: TÜ kirjastus.
58