Sestava 1 - Akademický bulletin - Akademie věd ČR

o b h a j o b y D S c .TEORIEBANACHOVÝCH PROSTORŮPracovník Matematicko-fyzikální fakulty UK v Praze doc. Ondřej Kalenda obhájilpřed komisí Matematická analýza a příbuzné obory disertaci Compact spaces and theirapplications in Banach space theory a získal vědecký titul „doktor fyzikálně-matematických věd“.Na Katedře matematické analýzy se podílí na výuce pokročilých předmětů oborumatematická analýza a na zajištění výuky základního kurzu matematiky pro ekonomyna Fakultě sociálních věd UK. Zaměřuje se na funkcionální analýzu, zejména na teoriiBanachových prostorů a její propojení s dalšími oblastmi matematiky (například s topologií).Vyvinul nové přístupy ke zkoumání vztahů mezi topologickými vlastnostmi kompaktníchprostorů a různými geometrickými vlastnostmi Banachových prostorů.Počátky teorie abstraktních Banachových prostorůspadají do dvacátých let minulého století. K prvnímmatematikům, kteří se jimi zabývali, patřili Stefan Banach,Hans Hahn a Eduard Helly. Banachovy prostory jsoumnožiny vybavené dodatečnou strukturou, a to jednakgeometrickou (jejich prvky lze násobit číslem a sčítatmezi sebou, jejich podmnožiny mohou mít tvar – přímky,úsečky, konvexní množiny atd.) a jednak strukturou metrickou(je v nich možné měřit vzdálenost). Tyto strukturyjsou vzájemně provázané. K jednoduchým příkladům Banachovýchprostorů patří přímka, rovina či trojrozměrnýprostor. Těžiště teorie ovšem spočívá ve zkoumání nekonečněrozměrnýchprostorů.Základními příklady nekonečněrozměrných Banachovýchprostorů jsou prostory posloupností a prostory funkcí.Tyto příklady poskytují motivaci ke studiu abstraktníchprostorů, protože jsou účinným prostředkem při řešenírovnic nejrůznějšího druhu, zejména diferenciálních. Diferenciálnírovnice se objevují například při analýze matematickýchmodelů ve fyzice, v biologii i dalších oborech.Specifikem diferenciálních rovnic je fakt, že neznámouv nich není číslo, ale funkce, případně systém funkcí. Právězde se ukazuje síla abstrakce – teorie Banachovýchprostorů umožňuje se složitými objekty (funkce či systémyfunkcí) zacházet jako s body v (nekonečněrozměrném)prostoru s geometrickou strukturou.Jak už to v matematice bývá, teorie vzniklé za určitýmúčelem se od tohoto účelu osamostatňují a žijí svýmvlastním životem. Mají své vlastní přirozené otázky, svouvlastní strukturu, své vlastní hluboké výsledky a svouvlastní vnitřní krásu. Jsou rozvíjeny bez přímé souvislostis původní motivací. Zdánlivě samoúčelné výsledkyobčas nacházejí překvapivé aplikace. Nejinak je tomus Banachovými prostory.Disertace shrnuje výsledky ze dvou oblastí teorie Banachovýchprostorů dokázané v letech 1997–2007. Prvníz nich je studium rozkladů „velkých“ (neseparabilních)Banachových prostorů na prostory „menší“ (separabilní).Takové rozklady umožňují přenos některých vlastnostíz menších prostorů na větší. Přibližně od šedesátých letminulého století byla jejich existence postupně dokazovánapro stále obecnější třídy prostorů. V disertaci ukazuji,že toto zobecňování má svou mez, popisuji tuto meza zkoumám prostory na rozmezí či nedaleko za ním.Druhou oblastí je zkoumání Banachových prostorů,na nichž je možné derivovat určité funkce (konkrétněspojité konvexní funkce). Jednou z motivací pro počítáníderivací je snaha aproximovat složitý objekt (funkci) pomocíjednoduššího objektu (lineární funkce, případněpolynomu). Počátky teorie derivování reálných funkcíspadají do 17. století. Různé typy derivací se studujíi pro funkce na Banachových prostorech. V šedesátýchletech minulého století Edgar Asplund zkoumal Banachovyprostory, na nichž mají spojité konvexní funkceněkterý typ derivace v „mnoha“ bodech. Zavedl taktotřídy Banachových prostorů,kterým se dnes říká Asplundovya slabé Asplundovy prostory.První z těchto tříd je velmidobře prozkoumaná, o druhése toho stále mnoho neví.V disertaci uvádím některévýsledky související právě sestrukturou třídy slabých Asplundovýchprostorů, jejích podtřída nadtříd.Výzkum v těchto a souvisejícíchoblastech je samozřejměmnohem bohatší a probíhástále, protože mnohootázek na své řešení teprvečeká.■ONDŘEJ KALENDA,Matematicko-fyzikální fakultaUniverzity Karlovy v PrazeFOTO: ARCHIV AUTORA23 ab