Marcin Szczuka: Modele Obliczeń. Wykład 3. Maszyny RAM i ...

Funkcja uniwersalna dla PREK 1Szkic dowodu twierdzenia z poprzedniego slajdu:Z twierdzenia Robinsona wynika, że funkcji w PREK 1 jest przeliczalniewiele. Możemy je zatem ustawić w ciąg (f i ) i∈N .Funkcją uniwersalna dla PREK 1 będzie zdefiniowana jakoF (n, x) = f n (x).Pokażemy, że F /∈ PREK.1 Przypuśćmy, że F ∈ PREK, wtedy g(x) = F (x, x) + 1 ∈ PREK 1 .2 Jeśli g ∈ PREK 1 to istnieje takie n 0 , że g = f n0 .3 Wtedy g(n 0 ) = f n0 (n 0 ), ale jednocześnieg(n 0 ) = F (n 0 , n 0 ) + 1 = f n0 (n 0 ) + 1 i sprzeczność.Zatem F /∈ PREK.UWAGI: Powyższy dowód jest prawdziwy pod warunkiem prawdziwościnieudowodnionego tw. Robinsona. Funkcja F nie jest pierwotnierekurencyjna, ale intuicyjnie jest obliczalna, więc być może klasa PREKjest zbyt uboga.Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2008/2009 30 / 42