Marcin Szczuka: Modele Obliczeń. Wykład 3. Maszyny RAM i ...

Zbiory rekurencyjnie przeliczalneDefinicjaZbiór A ⊂ N jest rekurencyjnie przeliczalny (re – recursivelyenumerable), jeśli istnieje funkcja pierwotnie rekurencyjna F (x, y) taka, że:x ∈ A ⇔ ∃ y∈N (F (x, y) = 0).Zbiory rekurencyjnie przeliczalne są istotne, gdyż za ich pomocą możnacharakteryzować zbiory funkcji (częściowo, pierwotnie) rekurencyjnych ipokazywać istotne związki między nimi. Omówimy kilka takich zależności.Twierdzenie o przeciwobrazieNiech f ∈ PREK oraz f(x) ≥ x dla x ∈ N. Wtedy przeciwobrazR f = {y : ∃ x∈N f(x) = y} jest zbiorem pierwotnie rekurencyjnym.Dowód: Ponieważ f(y) ≥ y, wystarczy rozpatrywaćy∏χ Rf (y) = sg(|f(x) − y|).x=0Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2008/2009 40 / 42