denklem ve eşitsizlikler

Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
Sayı ekseni üzerinde, karesi 2 ye eşit olan sayıya
karşılık gelen bir nokta bulunduğunu ve bunun
rasyonel sayı olmadığını gösterelim.
B
1
O
A C
–1
0 1 v2 2
1
Dik kenarları 1 birim uzunlukta ve bir dik kenarı,
sayı ekseni üzerinde bulunan OAB dik üçgeninde,
DOĞAL SAYILARDA İŞLEMLER
Sayıların Çözümlenmesi
a, b, c, d birer rakam olmak üzere,
(ab) = 10.a + b
(abc) = 100.a + 10.b + c
(abcd) = 1000.a + 100.b + 10.c + d dir.
abc = a.10 2 + b.10 + c
10 0 : Birler basama¤›
10 1 : Onlar basama¤›
10 2 : Yüzler basama¤›
|OB| 2 = |OA| 2 + |AB| 2 = 1 2 + 1 2 = 2 dir.
O merkezli, |OB| yarıçaplı çemberin sayı eksenini
kestiği nokta C olsun.
|OB| = |OC| olduğundan, C noktası, karesi 2 ye eşit
olan sayıya karşılık gelen noktadır.
Bu sayının, rasyonel sayı olmadığını gösterelim.
|OB| = |OC| ye karşılık gelen sayı rasyonel
p
olsaydı, bu sayıyı biçiminde yazabilirdik (p ve
q
q aralarında asal). Bu durumda,
2
p p
f p = 2 ⇒
q q
2
2
= 2 ⇒ p 2 = 2q 2 (I) olurdu.
2q 2 çift sayı olacağından, p 2 de çift sayı olur.
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 4
ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
ab + ba = 66 ise a + b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 5
Rakamları toplamının 3 katına eşit olan iki basamaklı
sayı kaçtır?
Çözüm
p 2 çift sayı ise p çift sayıdır.
O halde, en az bir p 1
∈ Z + için, p = 2p 1
dir.
Bunu (I) eşitliğinde yerine yazalım:
(2p 1
) 2 = 2q 2 2
⇒ 4p
1 = 2q 2 2
⇒ 2p
1 = q 2 olur.
2
2p
1 çift sayı olduğundan, q
2
de çift sayı olur.
q 2 çift sayı ise, q çift sayıdır.
O halde, en az bir q 1
∈ Z + için, q = 2q 1
dir.
p = 2p 1
ve q = 2q 1
⇒ p ile q nun ortak böleni 2 dir.
⇒ p ile q aralarında asal değildir.
Oysa, p ile q aralarında asal olarak seçilmişti.
Dolayısıyla, varılan sonuç bir çelişkidir. Bu durumda,
p 2
f p = 2 yazılamaz. Yani karesi 2 olan
q
sayı, rasyonel sayı değildir.
ÖRNEK 6
abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
abc – cba = 396
olduğuna göre, a – c kaçtır?
Çözüm
51