Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

hvor
vi,i = B2i(t, T)σ 2 i , i = 1, . . .,n
vi,j = Bi+j(t, T)ρσiσj i, j = 1, . . .,n, i = j
Ud fra de første 2 momenter fremg˚ar det, at den har flere umiddelbart attraktive
egenskaber, som tydeliggøres ved at betragte den forventede værdi
af den fremtidige spot-rente rT
E [rT |Ft] = δ0 +
n
exp [−κj (T − t) xjt]
j=1
Denne konvergerer oplagt mod det langtsigtede niveau δ0 for T → ∞, og
afvigelser i forhold til dette fremkommer ud fra hhv. valget af parametre og
tilstandsvariable, som b˚ade kan antage positive og negative værdier. Det virker
intuitivt at disse skulle være korrelerede, og givet ovenst˚aende kovariansmatrix
er modellen i stand til at beskrive dette. Dermed udnyttes den egenskab,
at iflg. (6) og (1) kan nulkuponrenten y(t, T) for varierende løbetider
dekomponeres i flere underliggende tilstandsvariable. Disse kan eksempelvis
repræsentere hhv. rente-niveau og hældning p˚a rentestrukturen.
For at prisfastsætte afledte aktiver af renten skal vi kende dens Q-dynamik,
som iflg. (14) bliver
dxt = −κxtdt + Γ dz Q
t − λtdt
=
−Γ λt − κxt
dt + Γdz Q
t
Tilføjer vi dette med en antagelse omkring konstant risikopræmie, f˚ar vi at
λ = (λ1, . . .,λn) ⊤ for alle t. Ricatti-ligningerne reduceres i den Gaussiske
model til
∂B(t, T)
∂t
∂A(t, T)
∂t
= κB(t, T) − 1
= − 1
n
⊤ 2
Γ B(t, T)
2
i −
i=1
n
i=1
λi
Γ ⊤ B(t, T)
i
+ δ0
Da κ er diagonal, bliver løsningerne til de enkelte B-funktioner ens og er
givet som
Bi(t, T) = 1 − exp(−κi(T − t))
13
κi
(18)