Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

Recommendations

Info

4 Beskrivelse af data Som bekendt er forudsætningen for eksistensen af en kontinuert rentestruktur til tidspunkt t, at priser p˚a NKO’er eksisterer kontinuert for tidspunkter T ≥ t. Dette er oplagt ikke tilfældet, men Kalman filteret er dog fleksibelt nok til at overkomme dette problem. Et andet umiddelbart problem er, NKO’er i Danmark kun bliver udstedt med løbetider p˚a maksimalt et ˚ar, og heraf bliver der kun handlet 4 p˚a samme tid - vi har alts˚a ikke umiddelbart nogen tilgængelig information omkring f.eks. det 30-˚arige punkt p˚a rentestrukturen. Dette problem løses ved i stedet at anvende de observerede par-renter for (rente)swaps af forskellige løbetider fra Nordea Analytics kombineret med en udvidet Nelson-Siegel estimationsmetode, jf. Svensson (1995) Rente (%) 3.0 3.5 4.0 0 5 10 15 20 25 30 Figur 1: Observerede rentesatser per 28. februar 2006 samt estimeret rentestruktur. Dette er gjort i perioden 3. januar 1996 til 8. marts 2006 med ugentlig frekvens om onsdagen for at undg˚a manglende observationer og ugedageseffekter, jf. Lund (1997a). Vi har valgt par-renter med 1 og 3 mdr. samt 1, 2, 33 T−t
3, 5, 7, 10, 15 og 30˚ars restløbetider. Dette resulterer i 532 dagsobservationer og til hver af disse 10 observerede rentesatser. N˚ar man ser p˚a udviklingen i nulkuponrenterne, dels over tid og p˚a tværs af løbetider, ser man en meget stærk indbyrdes afhængighed. I tabel 1 kan vi se, at korrelationerne mellem løbetiderne er ekstremt store. Korrelationen m˚aler graden af lineær afhængighed mellem renterne, og vi kan alts˚a se, at renteændringer i høj grad følges ad, endog ved et lineært mønster. Hvis vi ser p˚a autokorrelationerne for løbetiderne, jf. tabel 2, ser vi igen en stærk afhængighed mellem renteniveauet den ene uge og den foreg˚aende uge. Da autokorrelationerne er positive, betyder det, at niveauerne ikke svinger voldsomt ud fra uge til uge, men at store niveauskift sker over længere tidsperioder. Det er netop disse stærke afhængigheder, der er en af hovedmotivationerne for at forsøge at opstille modeller for rentestrukturen som et hele. 5 Principal komponent analyse Vi vil her foretage en principal komponent analyse (se fx Anderson (2003)) af korrelationsmatricen for at f˚a et mindre antal faktorer til at beskrive de mest almindelige ændringer i rentestrukturen p˚a tværs af løbetiderne. Vi finder her p˚a linje med Litterman & Scheinkman (1991), at 3 faktorer st˚ar for langt den største del af ændringerne 11 . De beskriver tilsammen 99.5 procent af variationen. Den første faktor, der i figur 2 er afbildet med sort, st˚ar alene for hele 83.6 procent af variationen. Et skift i denne faktor svarer til, at rentestrukturen parallelforskydes. Der er en svag tendens til, at den korte ende svinger lidt mere end den lange ende. Den anden faktor, som er afbildet som den røde linje, st˚ar for 14.4 procent af variationen. En ændring i denne faktor f˚ar den korte ende med løbetider op til 4 ˚ar til at forskydes modsat af den lange ende af rentestrukturen med løbetider over de 4 ˚ar. Endelig er der den tredje faktor, som kun st˚ar for 1.5 procent af variationen, men som stadig er vigtig, hvis man vil lave et godt hedge mod renteændringer. En stigning i den tredje faktor vil f˚a renten for løbetiderne mellem cirka 1 ˚ar og 10 ˚ar til at stige, mens de resterende løbetider vil falde. Det er de helt korte og de helt lange løbetider, der vil falde mest, mens det p˚a den anden side er løbetider omkring 2-3 ˚ar, der vil stige mest. Ved et fald i denne faktor vil ændringerne i renten selvfølgelig være de modsatte. 11 Litterman & Scheinkman (1991) dekomponener kovariansmatricen, mens vi dekomponerer korrelationsmatricen. De to metoder er ikke ækvivalente, men giver resultater, der er meget lig hinanden. 34
Page 1 and 2: Estimation af Multifaktor Affine Re
Page 3 and 4: 7 Estimationsresultater i CIR-model
Page 5 and 6: Del I Det teoretiske fundament 4
Page 7 and 8: En alternativ m˚ade at skrive mode
Page 9 and 10: hvor dynamikken for x er og σ(xt)
Page 11 and 12: Antages det ydermere, at formen p˚
Page 13 and 14: 2.4 Generaliseret multi-faktor Gaus
Page 15 and 16: hvilket ogs˚a er tilfældet i Vasi
Page 17 and 18: hvor vj = σ2 j κj −κj(T −t)
Page 19 and 20: 3 State-space repræsentation af en
Page 21 and 22: anvendelser af et Kalman filter var
Page 23 and 24: hvor vi igen har brugt, at støjled
Page 25 and 26: Tætheden er alts˚a givet som f X
Page 27 and 28: og kovarians-matricen for ωtj er s
Page 29 and 30: med et 0. Dette gøres for at undg
Page 31 and 32: 3.4 Monte Carlo simuleringer Da vi
Page 33: Del II Empiriske Anvendelser 32
Page 37 and 38: Løbetid Middelværdi Std.afv AC(1)
Page 39 and 40: κ 0.000011 (0.000326) σ 0.016983
Page 41 and 42: løbetider. Derimod p˚avirker skif
Page 43 and 44: Factor loading −0.04 −0.02 0.00
Page 45 and 46: en velspecificeret model. 7 Estimat
Page 47 and 48: Factor loading 0.0 0.5 1.0 1.5 i =
Page 49 and 50: Factor loading 0.0 0.5 1.0 1.5 i =
Page 51 and 52: 8 Konklusion Vi har i denne opgave
Page 53 and 54: [14] Lund, J. (1997a): Econometric
Page 55 and 56: 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Page 57 and 58: 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Page 59 and 60: 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Page 61 and 62: 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Page 63 and 64: 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Page 65 and 66: 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Page 67 and 68: Parameter 3-faktor Eksakt κ1 0.399
Page 69 and 70: Parameter 3-faktor Eksakt κ1 0.147
Page 71 and 72: Løbetid Middelværdi t-test Ljung-
Page 73 and 74: Løbetid Middelværdi t-test Ljung-
Page 75: Løbetid Middelværdi t-test Ljung-

Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?