Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur 

Modeller ved Kalman Filter metoder 

Morten Boelt Barslund 

Jens Dick-Nielsen 

Allan Sall Tang Andersen 

20. maj 2006

Indhold 

1 Indledning 3 

I Det teoretiske fundament 4 

2 Multifaktor rentemodeller 5 

2.1 Generel beskrivelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.2 Affine rentemodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3 Risikopræmier i affine rentemodeller . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.4 Generaliseret multi-faktor Gaussisk model . . . . . . . . . . . 12 

2.5 CIR-modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

3 State-space repræsentation af en affin rente-struktur 18 

3.1 Udledning af Kalman filteret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.2 Kalman filtrering af multifaktor Gaussisk model . . . . . . . . 25 

3.3 Kalman filtrering af CIR-modeller . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.4 Monte Carlo simuleringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

II Empiriske Anvendelser 32 

4 Beskrivelse af data 33 

5 Principal komponent analyse 34 

6 Estimationsresultater i de Gaussiske modeller 37 

6.1 1-faktor modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 



1

7 Estimationsresultater i CIR-modellerne 44 




8 Konklusion 50 

2

1 Indledning 

Udviklingen i nulkuponrentestrukturen er et centralt element i risikostyring 

og prisfastsættelse af finansielle aktiver. Specielt for derivater, der direkte 

er afhængige af den stokastiske udvikling i de fremtidige renter, er det 

nødvendigt at opstille og estimere modeller for rentestrukturens udvikling 

over tid. De metoder vi vil bruge i denne opgave, bliver i udstrakt omfang 

anvendt i praksis af den finansielle sektor. Det kan fx være med henblik p˚a 

at styre statens gældsporteføjle (se Danmarks Nationalbank (2006)). 

I denne opgave betragter vi modeller for rentestrukturen hørende indenfor 

den affine klasse introduceret af Duffie & Kan (1996). Denne klasse 

er interessant, fordi den har specielt pæne egenskaber mht. fordelinger og 

løsningsformer for nulkuponobligationer etc. Specifikt vil vi anvende Gaussiske 

(Langetieg (1980)) og CIR-multifaktor modeller (Cox et. al (1985)). I 

denne typer modeller er renteudviklingen drevet af en række underliggende 

faktorer, hvis udvikling er beskrevet ved en stokastisk differentialligning. 

Modellerne passer godt ind i et state-space setup, da vi har observerbare 

nulkuponrenter, uobserverbare underliggende faktorer og samtidig kan faktorernes 

fordeling relativt let diskretiseres. I forhold til den teoretiske model 

antager vi her, at nulkuponrenter observeres med støj som følge af fx 

inkomplette markeder, bid-ask spreads og asynkron notering af priser. N˚ar 

vi s˚aledes har modellerne p˚a state-space form, kan vi anvende Kalman filter 

metoden til at drage inferens om de ukendte parametre og s˚aledes ogs˚a estimere 

de uobserverbare faktorer. Denne fremgangsm˚ade bliver blandt andet 

brugt i Lund (1997a, 1997b), de Jong (2000), Babbs & Nowman (1999) og 

Geyer & Pichler (1998) med flere. Fordelen ved Kalman filter metoden er, at 

den b˚ade tillader inddragelse af renteobservationer over tid og p˚a tværs af 

løbetider. Herved undg˚ar vi ogs˚a at lave en proxy for den i praksis tvivlsomme 

spot-rente. 

Opgaven er struktureret som følger: I afsnit 2 udleder vi den generelle affine 

rentestrukturmodel. Desuden udleder vi fordelingsegenskaber og arbitragefri 

prisfastsættelse af nulkuponobligationer for multifaktor Gaussiske og CIRmodeller. 

I afsnit 3 beskriver vi state-space repræsentationen af de affine 

rentemodeller og udleder et Kalman filter til estimation af modellerne. Vi 

foretager ogs˚a et mindre Monte Carlo studie af vores Kalman filter. Afsnit 

4 og 5 beskriver data og foretager en simpel principal komponent analyse af 

rentestrukturens udvikling. I afsnit 6 og 7 beskriver vi estimations resultaterne 

i de affine rentemodeller. Endelig konkluderes der i afsnit 8. 

3

Del I 

Det teoretiske fundament 

4

2 Multifaktor rentemodeller 

Vi ønsker at studere den s˚akaldte rentestruktur, der forbinder bestemte finansielle 

aktiver med deres tid til udløb. Disse aktiver kaldes for nulkuponobligationer 

(herefter NKO) og er defineret som kontrakter, der garanterer 1 

ejeren af obligationen en betaling p˚a 1 kr. til udløbstidspunktet. Vi vælger 

at betegne prisen for en NKO til tidspunkt t med udløb T ≥ t med 

P(t, T), som trivielt tilfredsstiller P(T, T) = 1. Den tilhørende nulkuponrente 

y(t, T) er defineret som den rentesats, der f˚ar den diskonterede betaling p˚a 

udløbstidspunktet til at være lig markedsprisen, og idet vi vælger at arbejde 

med kontinuert tilskrevne renter gælder der 

P(t, T) = e −y(t,T)(T −t) ln P(t, T) 

⇔ y(t, T) = − 

T − t 

Hertil definerer vi rentestrukturen til tidspunkt t som funktionen T ↦→ y(t, T), 

og i det følgende vil vi studere stokastiske modeller, der søger at forklare udviklingen 

i denne. 

2.1 Generel beskrivelse 

I en generel n-faktor rentemodel antages det, at renten bliver drevet af en ndimensional 

vektor proces x = (x1, . . .,xn) ⊤ af tilstandsvariable defineret p˚a 

sandsynlighedsfeltet (Ω, F, (Ft), P), hvor (Ft) er filtreringen genereret af en 

n-dimensional Brownsk bevægelse og P er det statistiske sandsynlighedsm˚al. 

En særlig form er, hvor x antages at følge Itô-processen 

dxt = α(xt, t)dt + β(xt, t)d¯zt 

hvor ¯z er en n-dimensional korreleret P-Brownsk bevægelse med korrelationsmatrix 

ρ. Her gælder det, at udfaldsrummet for processen vil være givet ved 

S ⊆ R n , og dermed er α(xt, t) en funktion s˚aledes at S × R+ ↦→ R n . Ergo er 

α(xt, t) en n ×1 vektor. Tilsvarende er β(xt, t) en funktion, der foretager en 

afbildning fra S × R+ til mængden af n × n-matricer, og ergo er β(xt, t) en 

n × n-matrix. 

1 Ordet garanterer er i denne sammenhæng vigtigt, idet vi forudsætter, at fallit ikke 

forekommer. Dermed er betalingen p˚a 1 kr. til tidspunkt T deterministisk i sandsynlighedsmæssig 

sammenhæng 

5 

(1) 

(2)

En alternativ m˚ade at skrive modellen p˚a er 

dxt = α(xt, t)dt + β(xt, t) ρ 1/2 dzt 

= α(xt, t)dt + ˆ β(xt, t)dzt 

hvor ρ 1/2 er Cholesky-dekompositionen af korrelations-matricen ρ, mens z er 

en ukorreleret n-dimensional P-Brownsk bevægelse. Ydermere har vi benyttet 

omparametriseringen 

ˆβ(xt, t) = β(xt, t) ρ 1/2 

Vi ved, jf. Björk (2004), at fravær af arbitrage vil være ensbetydende med 

eksistensen af et ækvivalent martingal m˚al Q p˚a F ˜ T 2 . Til dette m˚alskift 

definerer vi den Radon-Nikodym afledte p˚a F ˜ T ved 3 

dQ 

dP 

= exp 

 

− 1 

2 

˜ T 

0 

λ(xt, t) 2 dt − 

og fra Girsanov (se Björk (2004)) f˚ar vi 

˜ T 

dzt = dz Q 

t − λ(xt, t)dt 

0 

λ(xt, t) ⊤ dzt 

Dermed vil dynamikken for tilstandsvariablene under Q være givet ved 

dxt = α(xt, t)dt + ˆ β(xt, t) dz Q 

t − λ(xt, t)dt 

= 

 

α(xt, t) − ˆ β(xt, t)λ(xt, t) 

 

 

dt + ˆ β(xt, t)dz Q 

t 

Ved at anvende Itô’s Lemma p˚a et handlet, afledt aktiv af renten og derefter 

danne en instantant risikofri portefølje, skal denne nødvendigvis give det instantant 

riskofrie afkast for at undg˚a arbitrage. Dermed f˚ar vi den partielle 

differentialligning (herefter PDE), der skal gælde til tidspunkt t for ethvert 

2Her er T˜ et tidspunkt strengt større end alle betragtede T. Herved eksisterer der en 

likelihood proces dQ 

dP for alle betragtede T. 

3Herved antager vi implicit at Novikov-betingelsen - dvs 

E P 

 

exp 

T˜ 

1 

λ(xt, t) 

2 0 

2 

dt < ∞ 

er opfyldt. Se fx Björk (2004) for en nærmere beskrivelse. 

6 

(3) 

(4)

afledt aktiv P(xt, t, T) med udløb til tidspunkt T ≥ t i forhold til den underliggende 

proces xt som 

∂P 

∂t (xt, t, T) + ∂P 

∂x⊤(xt, 

t, T) α(xt, t) − ˆ 

β(xt, t)λ(xt, t) + (5) 

1 

2 tr 

 

ˆβ(xt, t) ⊤ ∂2P ∂x∂x⊤(xt, t, T) ˆ 

β(xt, t) − r(xt, t)P(xt, t, T) = 0 

Bemærk at (5) er givet ud fra parametrene i (2), den stokastiske proces, der 

styrer tilstandsvariablene og endelig en vektor λ, der indeholder prisen p˚a 

risiko (ogs˚a kaldet risikopræmie). Betragter vi en NKO, er den tilhørende 

randbetingelse 

P(xT, T, T) = 1 

Løsningen til (5) med denne randbetingelse bliver iflg. Feynman-Kač 

 

P(xt, t, T) P(xT, T, T) 

= EQ 

M(xt, t) M(xT, T) Ft 

s˚aledes at fravær af arbitrage er ensbetydende med, at alle prisprocesser 

diskonteret med numerairen M(xt, t) er martingaler under det tilhørende 

ækvivalente martingal m˚al Q. M(xt, t) følger den normale definition p˚a ’bank 

bogen’ 

t 

M(xt, t) = exp r(xs, s)ds 

0 

Idet P(xT, T, T) = 1 kan prisen p˚a en NKO findes som 

P(xt, t, T) = E Q 

T 

 

exp − r(xs, s)ds Ft 

t 

2.2 Affine rentemodeller 

Vi vil i denne opgave fokusere p˚a en delmængde af multifaktor rentemodeller, 

nemlig de s˚akaldte affine modeller. Affine modeller i et multifaktor setup blev 

introduceret af Duffie og Kan (1996), og i denne klasse er spot-renten p˚a 

formen 

rt = δ0(t) + δ ⊤ xt 

7 

(6) 

(7)

hvor dynamikken for x er 

og σ(xt) er defineret som 

⎜ 

σ(xt) = ⎜ 

⎝ 

dxt = (ϕ − κxt)dt + Γσ(xt)dzt 

⎛ 

 

α1 + β ⊤ 

1 xt 

. 

. . . 

. .. 

 

0 

. 

0 . . . αn + β ⊤ 

nxt Her er ϕ, α, β j og δ konstante vektorer, mens δ0(t) er en funktion, der f.eks. 

kan bruges til at tilpasse den observerede rentestruktur til tidspunkt t - se 

fx. Hull & White (1993). Desuden er κ og Γ konstante n × n matricer, og jf. 

reparametriseringen i (3) lader vi Γ indeholde Cholesky-dekompositionen af 

korrelations-matricen ρ, s˚aledes at z er en ukorreleret P-Brownsk bevægelse 4 . 

Vi vil i denne opgave kun betragte det tids-homogene tilfælde af modellerne, 

hvorfor vi har δ0(t) = δ0. Da vi har fokus p˚a implementationen af Kalman 

filteret, jf. diskussionen i afsnit 3, behøver vi kendskab til de betingede momenter 

af hhv. første og anden orden for tilstandsvariablene x. Indenfor den 

affine klasse eksisterer der lukkede udtryk for disse, som følgende udledes. 

Lad matrix eksponentiel funktionen være defineret som 

 

exp κt = I + 

∞ 

i=1 

1 

i κt 

i! 

Herefter følger det af Itô’s Lemma samt egenskaberne ved denne at 

 

d exp κt xt = exp κt ϕdt + exp κt Γσ(xt)dzt 

 

Integration fra t til T og multiplikation med exp κT medfører da 

T 

xT = exp −κ (T − t) xt + exp −κ (T − s) ϕds + η (t, T) (10) 

t 

4 Duffie & Kan (1996) modellerer rentens dynamik direkte under Q og antager herved 

fravær af arbitrage. Da faktorernes udvikling foreg˚ar under det statistiske m˚al P, skal vi 

kende dynamikken under b˚ade P- og Q-m˚al. Givet vores specifikation af risikopræmie f˚ar 

vi samme typer af stokastiske processer under de to m˚al. 

8 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(8) 

(9)

hvor 

η (t, T) = 

T 

t 

 

exp −κ (T − s) Γ σ(xt)dzs 

(11) 

Dette giver umiddelbart løsningen til (8), og da stokastiske Itô-integraler er 

martingaler, følger middelværdien for tilstandsvariablene af (10) (antaget κ 

ikke er singulær) som 

E 

xT 

Ft = exp −κ (T − t) xt + I − exp −κ (T − t) κ −1 ϕ (12) 

Kovariansmatricen er givet som 

Cov 

xT 

Ft = E η (t, T)η (t, T) ⊤ 

Ft T T ⊤ 

 

= E exp −κ (T − s) Γ σ(xt)dzs exp −κ (T − u) Γ σ(xt)dzu Ft 

t 

t 

T 

= E exp −κ (T − s) Γσ 2 (xs)Γ ⊤ 

exp −κ ⊤ 

 

(T − s) ds 

= 

hvor 

T 

t 

t 

 

exp −κ (T − s) ΓE σ 2 (xs) 

Ft Γ ⊤ 


(T − s) ds (13) 

 

E σ 2 (xs) 

Ft 

jj 

= αj + βj ⊤ E 

xsFt 

og alle andre elementer, der ikke er i diagonalen, er nul. Bemærk at udtrykket 

i (13) nødvendigvis skal reduceres yderligere, hvilket er gjort i hhv. afsnit 2.4 

og 2.5 for de betragtede modeller i den affine klasse. 

Hvis risikopræmien antages at være p˚a formen 

λ(xt) = σ(xt)λ 

følger Q-dynamikken af (4) som 

dxt = 

 

 

ϕ − Γ σ(xt) σ(xt)λ − κxt dt + Γ σ(xt)dz Q 

t 

Ft 

(14) 

Den partielle differentialligning i (5) reduceres i den affine klasse til 

∂P 

∂t (xt, t, T) + ∂P 

∂x⊤(xt, 

 

t, T) ϕ − Γσ(xt) σ(xt)λ − κxt + (15) 

1 

2 tr 

 

Γ ⊤ σ(xt) ∂2P ∂x∂x⊤(xt, 

t, T)σ(xt) Γ − r(xt, t)P(xt, t, T) = 0 

9

Antages det ydermere, at formen p˚a NKO’er er givet ved 

P(xt, t, T) = exp A(t, T) − B(t, T) ⊤ 

xt 

bliver de relevante afledte 

∂P 

∂t (xt, t, T) = P(xt, t, T) 

 

∂A(t, T) 

− 

∂t 

∂P 

∂x ⊤(xt, t, T) = −P(xt, t, T)B(t, T) ⊤ 

∂P 

∂x∂x ⊤(xt, t, T) = P(xt, t, T)B(t, T)B(t, T) ⊤ 

∂B(t, T) 

∂t 

⊤ 

xt 

 

(16) 

Vi ser, at alle P(xt, t, T) g˚ar ud, og sammen med definitionen p˚a renten f˚ar 

vi, at PDE’en kan skrives om til 

⊤ 

 

∂A(t, T) ∂B(t, T) 

− xt − B(t, T) 

∂t ∂t 

⊤ 

 

 

ϕ − Γ σ(xt) σ(xt)λ − κxt + 

1 

2 tr 

 

Γ ⊤ σ(xt)B(t, T)B(t, T) ⊤ 

σ(xt) Γ − δ0 − δ ⊤ xt = 0 

Ved udregning af matricerne f˚ar vi at 

 

tr Γ ⊤ σ(xt)B(t, T)B(t, T) ⊤ 

σ(xt) Γ 

= 

= 

B(t, T) ⊤ Γσ(xt) σ(xt)λ = 

= 

n 

i=1 

i=1 

(αi + β ⊤ 

i xt) 

 

n 

Bj(t, T)Γji 

j=1 

2 

n 

(αi + β ⊤ 

i xt) Γ ⊤ B(t, T) 2 i 

n 

 

n 

 

Bj(t, T)Γji (αi + β ⊤ 

i xt)λi 

i=1 

j=1 

n 

⊤ 

Γ B(t, T) i (αi + β ⊤ 

i xt)λi 

i=1 

hvor [X]i beskriver det i’te element af vektoren X, dvs. PDE’en kan omskrives 

til 

⊤ n 

∂B(t, T) 

⊤ 

− + λi Γ B(t, T) 

∂t 

i 

i=1 

β⊤i 

+ B(t, T) ⊤ κ + 1 

n 

⊤ 2 

Γ B(t, T) 

2 

i 

i=1 

β⊤i 

− δ ⊤ 

 

xt 

 

∂A(t, T) 

+ − B(t, T) 

∂t 

⊤ n 

⊤ 

ϕ + Γ B(t, T) i αiλi + 1 

n 

⊤ 2 

Γ B(t, T) 

2 

i αi 

 

− δ0 = 0 

i=1 

10 

i=1

Dette løses ved, at de to parenteser er nul p˚a samme tid, hvilket resulterer i 

det ordinære differentialligningssystem 

∂B(t, T) 

∂t 

∂A(t, T) 

∂t 

= 1 

2 

= − 1 

2 

n 

i=1 

Γ ⊤ B(t, T) 2 

i β i + κ ⊤ B(t, T) + 

n 

i=1 

n 

i=1 

Γ ⊤ B(t, T) 2 

i αi + B(t, T) ⊤ ϕ − 

λi 

n 

i=1 

Γ ⊤ B(t, T) 

i β i − δ 

 

⊤ 

λi Γ B(t, T) i αi + δ0 

med slutbetingelser A(T, T) = 0 og B(T, T) = 0, som nødvendigvis skal 

løses sekventielt. Differentialligningerne er s˚akaldte Ricatti-ligninger og kan 

generelt altid løses numerisk, hvorimod analystiske løsninger kun optræder i 

særlige tilfælde. Disse er fx de Gaussiske modeller samt CIR-modeller, som 

gennemg˚as i hhv. afsnit 2.4 og 2.5. 

2.3 Risikopræmier i affine rentemodeller 

I dette afsnit gøres overvejelser ang˚aende risikopræmier indenfor klassen af 

affine modeller med henblik p˚a diskussionen af de estimerede parametre i 

den empiriske del af denne opgave. Det følger af (7) og (8) samt brug af Itô’s 

Lemma, at prisen p˚a en NKO er en Itô proces med driften 

∂P 

∂t (xt, t, T) + ∂P 

∂x⊤(xt, 

t, T) ϕ − κxt + 1 

2 tr 

 

Γ ⊤ σ(xt) ∂2 P 

∂x∂x ⊤(xt, t, T)σ(xt) Γ 

under det statistiske sandsynlighedsm˚al P. Fra (15) f˚ar vi, at dette skal være 

lig med 

∂P 

∂x ⊤(xt, t, T)Γσ(xt) σ(xt)λ + r(xt, t)P(xt, t, T) 

Dermed bliver driften p˚a det relative afkast dP 

P 

Drift 

dP 

P 

 

1 ∂P 

= r(xt, t) + 

P(xt, t, T) ∂x⊤(xt, t, T)Γσ(xt) σ(xt)λ 

n 

⊤ 

= r(xt, t) − Γ B(t, T) i 

i=1 

(αi + β ⊤ 

i xt)λi 

 

(∗) 

 

For en risikoavers investor m˚a vi forvente, at (∗) er negativ. Dvs. hvis Bfunktionerne 

er positive, vil vi forvente, at λ skal være s˚a det samlede merafkast 

bliver positivt. 

11

2.4 Generaliseret multi-faktor Gaussisk model 

I dette afsnit betragter vi en generaliseret Gaussisk model, der hører indenfor 

den affine klasse. Vi lader den korte rente være givet p˚a formen 

rt = δ0 + 1 ⊤ xt 

hvor dynamikken for xt er givet ved 

dxt = −κxtdt + Σρ 1/2 dzt 

(17) 

Her er b˚ade κ og Σ diagonale 5 . Bemærk at modellen er affin, idet vi ved 

sammenligning med (8) har 

(i) δ = 1 

(ii) ϕ = 0 

(iii) Γ = Σρ 1/2 

(iv) σ (xt) = I 

Dermed følger de første 2 momenter af hhv. (12) og (13), hvorfor vi har 

 

E [xT |Ft] = exp −κ(T − t) xt 

⎛ 

⎞ 

exp [−κ1(T − t)] x1t 

⎜ 

⎟ 

= ⎝ . ⎠ 

exp [−κn(T − t)] xnt 

og 

Cov [xT |Ft] = 

= 

T 

 

exp −κ(T − s) 

⎞ 

t ⎛ 

v1,1 . . . v1,n 

⎜ 

⎝ 

. 

. .. . 

vn,1 . . . vn,n 

⎟ 

⎠ 

 

Σ ρΣ ⊤ 


(T − s) ds 

5 Dai & Singleton (2000) beskriver, hvorn˚ar affine rentemodeller er maksimale og identificerbare. 

Dette er tilfældet i den betragtede model. Selvom vores specifikation af modellen 

ikke er den samme som i Dai & Singleton, kan vi ved en omparametrisering vise ækvivalens 

mellem de to modeller, se fx Poulsen (2006). 

12

hvor 

vi,i = B2i(t, T)σ 2 i , i = 1, . . .,n 

vi,j = Bi+j(t, T)ρσiσj i, j = 1, . . .,n, i = j 

Ud fra de første 2 momenter fremg˚ar det, at den har flere umiddelbart attraktive 

egenskaber, som tydeliggøres ved at betragte den forventede værdi 

af den fremtidige spot-rente rT 

E [rT |Ft] = δ0 + 

n 

exp [−κj (T − t) xjt] 

j=1 

Denne konvergerer oplagt mod det langtsigtede niveau δ0 for T → ∞, og 

afvigelser i forhold til dette fremkommer ud fra hhv. valget af parametre og 

tilstandsvariable, som b˚ade kan antage positive og negative værdier. Det virker 

intuitivt at disse skulle være korrelerede, og givet ovenst˚aende kovariansmatrix 

er modellen i stand til at beskrive dette. Dermed udnyttes den egenskab, 

at iflg. (6) og (1) kan nulkuponrenten y(t, T) for varierende løbetider 

dekomponeres i flere underliggende tilstandsvariable. Disse kan eksempelvis 

repræsentere hhv. rente-niveau og hældning p˚a rentestrukturen. 

For at prisfastsætte afledte aktiver af renten skal vi kende dens Q-dynamik, 

som iflg. (14) bliver 

dxt = −κxtdt + Γ dz Q 

t − λtdt 

= 

 

−Γ λt − κxt 

 

dt + Γdz Q 

t 

Tilføjer vi dette med en antagelse omkring konstant risikopræmie, f˚ar vi at 

λ = (λ1, . . .,λn) ⊤ for alle t. Ricatti-ligningerne reduceres i den Gaussiske 

model til 

∂B(t, T) 

∂t 

∂A(t, T) 

∂t 

= κB(t, T) − 1 

= − 1 

n 

⊤ 2 

Γ B(t, T) 

2 

i − 

i=1 

n 

i=1 

λi 

Γ ⊤ B(t, T) 

i 

+ δ0 

Da κ er diagonal, bliver løsningerne til de enkelte B-funktioner ens og er 

givet som 

Bi(t, T) = 1 − exp(−κi(T − t)) 

13 

κi 

(18)

hvilket ogs˚a er tilfældet i Vasičeks model (1977). I systemet kan den partielt 

afledte ∂A(t,T) 

∂t omskrives til 

∂A(t, T) 

∂t 

= − 1 

n 

σ 

2 

i=1 

2 i Bi(t, T) 2 − 

n 

− Bi(t, T)σiλi + δ0 

i=1 

n−1 

n 

i=1 j=i+1 

σiσjρijBi(t, T)Bj(t, T) 

Løsningen for A(t, T) følger da ved integration og ved anvendelse af randbetingelsen 

A(T, T) = 0 som 

A(t, T) = 1 

2 

n 

i=1 

n−1 

 

σ 2 i 

n 

i=1 j=i+1 

n 

i=1 

λiσi 

 

(T − t) − 2Bi(t, T) + B2i(t, T) 

+ 

ρijσiσj 

κ 2 i 

 

Bi+j(t, T) − Bi(t, T) − Bj(t, T) + (T − t) 

+ 

κiκj 

 

(T − t) − Bi(t, T) 

− δ0(T − t) (19) 

Dermed bliver prisen p˚a en NKO i modellen iflg. (16) 

P(xt, t, T) = exp A(t, T) − B(t, T) ⊤ 

xt 

s˚aledes at rentestrukturen i modellen bliver 

κi 

ln P(t, T) 

y(t, T) = − 

T − t = −A(t, T) − B(t, T)⊤xt T − t 

hvor A(t, T) og B(t, T) er som angivet i hhv. (19) og (18). 

2.5 CIR-modeller 

I deres model fra 1985 finder Cox, Ingersoll og Ross (herefter CIR) i tilfældet 

med logaritmisk nytte og én enkelt stokastisk faktor til at beskrive de ledige 

produktionsmuligheder, at den korte rente i ligevægt følger den stokastiske 

proces 

drt = κ (θ − rt) dt + σ √ rtdzt 

14 

(20)

hvor κ, θ og σ er positive konstanter 6 . Ved en simpel reparametrisering kan 

(20) ogs˚a formuleres 

drt = (φ − κrt)dt + σ √ rtdzt 

(21) 

hvor φ = κθ er en positiv konstant. I det analoge n-dimensionale tilfælde 

siges en model at være en n-dimensional CIR-model, hvis den korte rente 

kan skrives som summen af tilstandsvariablene, dvs. rt = n j=1 xjt, og tilstandsvariablene 

er uafhængige, hvor den enkelte tilstandsvariabel følger samme 

proces som i det én-dimensionale tilfælde. Dermed er dynamikken for x givet 

ved 

√ 

dxjt = (φj − κjxjt) dt + σj xjtdzjt, j = 1, . . ., n 

hvor κj, φj og σj er positive konstanter. Bemærk at modellen er affin idet vi 

ved sammenligning med (8) har 

(i) δ = 1 

 

(ii) αj + β ⊤ 

j xt = xjt 

(iii) Γ er diagonal med elementer σ 2 j 

(iv) δ0 = 0 

og ergo følger fordelingsegenskaberne af hhv. (12) og (13). Da κ er diagonal 

er middelværdien veldefineret og givet ved 

 

E [xT |Ft] = exp −κ (T − t) xt + I − exp −κ (T − t) κ −1 ⎛ 

e 

⎜ 

= ⎝ 

ϕ 

−κ1(T −t) 

x1t + 1 − e−κ1(T −t) φ1 

κ1 

. 

e−κn(T −t) xnt + 1 − e−κn(T −t) ⎞ 

⎟ 

⎠ 

φn 

κn 

Da tilstandsvariablene er uafhængige i modellen, bliver kovarians-matricen 

diagonal og er givet ved 

Cov [xT |Ft] = 

T 

exp −κ (T − s) ΓE σ 

t 

2 (xs) 

Ft Γ ⊤ 


(T − s) ds 

= 

⎛ 

v1 

⎜ 

⎝ . 

. . . 

. .. 

⎞ 

0 

⎟ 

. ⎠ 

0 . . . vn 

6 I modsætning til den Gaussiske model er CIR-modellen ikke maksimal, idet κ ikke 

behøver at være diagonal for at modellen kan identificeres, jf. Dai og Singleton (2000). 

15

hvor 

vj = σ2 j 

κj 

 

−κj(T −t) −2κj(T −t) 

xjt e − e + σ2 jφj 

2κ2 

−κj(T −t) 

1 − e 

j 

2 

Det følger af Cox, Ingersoll og Ross (1985), at modellen er ikke-centralt χ2- fordelt med de to første momenter som angivet ovenfor. Desuden har den flere 

umiddelbart attraktive egenskaber. For det første udviser den korte rente 

mean-reversion omkring det langtsigtede niveau rt = n φj 

j=1 . For det andet 

κj 

kan den ikke blive negativ (forudsat at tilstandsvariablene initielt er positive, 

s˚aledes at processerne er veldefinerede). Desuden er volatiliteten afhængig af 

renten (alts˚a er den heteroskedastisk), s˚aledes at den er mindre volatil for 

lave niveauer end høje niveauer af den korte rente. Dette lader til at være 

konsistent med observerede bevægelser i den korte rente. 

Som angivet i afsnit 2.2 medfører arbitragefri prisfastsættelse specifikationen 

af en risikopræmie λjt for hver tilstandsvariabel, som givet modellen bliver 

λjt = λj 

√ 

xjt 

σj 

Hermed bliver processerne for tilstandsvariablene under det ækvivalente martingal 

m˚al Q 

dxjt = √ √ 

φj − κjxjt − λjtσj xjt dt + σj xjtdz Q 

jt 

√ 

= [φj − (κj + λj) xjt] dt + σj xjtdz Q 

= (φj − ˆκxjt) dt + σj 

√ xjtdz Q 

jt 

hvor ˆκj = κj + λj. Processen udviser ogs˚a mean-reversion under Q, men 

b˚ade hastigheden og det langtsigtede niveau er forandret. Bemærk dog, at 

prisen for at anvende CIR-modellen er manglen p˚a viden om en passende 

risikopræmie, da denne er implicit givet. Idet en NKO per definition udbetaler 

1 kr. til tidspunkt T, bliver randbetingelsen P(xt, t, T) = 1 med generel 

løsning 

P(xt, t, T) = E Q 

 

e −ÊT 

t r(xu,u)du 

Ft 

(22) 

16 

jt

Imidlertid kan vi udnytte relationen rt = n j=1 xjt og uafhængighed mellem 

tilstandsvariablene, hvormed (22) kan formuleres 

P(xt, t, T) = E Q 

 

n 

 

T 

exp − xjudu Ft 

= E Q 

 

n 

exp 

= 

j=1 

n 

E Q 

j=1 

 

exp 

j=1 t 

T 

 

− 

 

− 

t 

T 

t 

 

 

xjudu Ft 

 

 

 

xjudu Ft 

Da modellen er affin og tilstandsvariablene uafhængige, gælder der 

E Q 

T 

 

exp − xjudu Ft = exp {Aj(t, T) − Bj(t, T)xjt} 

t 

(23) 

og da alle tilstandsvariable endvidere følger en proces af samme type, skal 

Aj(t, T) og Bj(t, T) tilfredsstille det ordinære differentialligningssystem 

∂Bj(t, T) 

∂t 

∂Aj(t, T) 

∂t 

= 1 

2 σ2 j Bj(t, T) + ˆκjBj(t, T) − 1 

= φjBj(t, T) 

for j = 1, . . .,n. Givet initialbetingelserne Aj(T, T) = Bj(T, T) = 0 bliver 

løsningen til systemet 

2 

Bj(t, T) = 

eγj(τ) 

− 1 

(γj + ˆκj)(e γj(τ) − 1) + 2γj 

Aj(t, T) = 2φj 

 

ln(2γj) + 

σj 

1 

2 (ˆκj + γj) (τ) − ln (γj + ˆκj)(e γj(τ) 

 

− 1) + 2γj 

 

 

hvor γj = ˆκ 2 j + 2σ2 j . Dermed bliver prisen p˚a en NKO i modellen iflg. (23) 

P(xt, t, T) = 

n 

exp (Aj(t, T) − Bj(t, T)xjt) (24) 

j=1 

s˚aledes at rentestrukturen i modellen bliver 

n ln P(t, T) j=1 

y(t, T) = − = − 

T − t (Aj(t, T) − Bj(t, T)xjt) 

T − t 

17

3 State-space repræsentation af en affin rentestruktur 

State-space modellerne blev oprindeligt introduceret sammen med en filtreringsalgoritme 

i Kalman (1960), deraf navnet Kalman filtrering. I den 

generelle state-space model (se eksempelvis Hamilton (1994) eller Harvey 

(1990)) har man en stokastisk vektorproces (Y t)t≥0 observeret til diskrete 

tidspunkter. Denne proces er en funktion af en uobserverbar underliggende 

stokastisk vektorproces (Xt)t≥0. Det antages, at den uobserverbare proces til 

de diskrete tidspunkter følger en vektor autoregressiv (herefter VAR) proces 

af første orden 

Xtj 

= C + D Xtj−1 + ωtj 

(25) 

Her er Xtj og C vektorer af længde n×1. D er en overgangsmatrix af dimension 

n × n, der beskriver den lineære afhængighed mellem to tidspunkter i 

processen. Derfor kaldes selve ligningen ogs˚a for overgangsligningen (engelsk: 

transition eller state equation). Endelig er ωt en støjproces, der antages at 

være flerdimensional normalfordelt med dimension n. I vores setup er C og 

D tidsinvariante, men de kunne uden problemer afhænge af tiden p˚a en de- 

terministisk m˚ade. Den observerbare proces afhænger af den underliggende 

proces p˚a følgende m˚ade (engelsk: measurement equation) 

Y tj 

= A + B Xtj + ǫtj 

her er Y tj og A m × 1 vektorer og B er en m × n matrix. Modellen bliver 

dobbelt stokastisk, idet vi antager, at ogs˚a vores observationer er behæftet 

med støj. ǫt er s˚aledes en stokastisk vektor, der er flerdimensionalt normalfordelt 

af orden m. For de to normalfordelte støj processer antages det, at de 

har middelværdi 0 og en kovariansstruktur givet som: 

 

E ǫtj ǫ⊤ 

tj 

 

= H, for i = j og 0 ellers 

E ωtj ω⊤ 

tj 

 

= V , for i = j og 0 ellers 

E = 0, for alle i og j 

ωtj ǫ⊤ tj 

Her er H af dimension m × m og V er af dimension n × n. Støjprocesserne 

er alts˚a indbyrdes uafhængige og desuden uafhængige over tid. Disse restriktioner 

kan ogs˚a lempes uden problemer. 

18

Den observerbare proces hos os er nulkuponrenternes udvikling over tid. 

Denne udvikling styres af de uobserverbare tilstandsvariable (engelsk: state 

variables), der bestemmer spot-renten. Da vi har observationer af nulkuponrenterne 

p˚a ugebasis (se afsnit 4), bliver observationstidspunkterne ækvidistante 

tj − tj−1 = ∆t. Ydermere har vi hele tiden de samme m løbetider. 

Disse to simplifikationer giver os en state space fremstilling, hvor overgangsmatricerne 

ikke kommer til at afhænge af det præcise tidspunkt tj, men kun 

af tidsskridtets længde ∆t. 

I den generelle affine rentestrukturmodel har nulkuponrenten til tid t med 

udløb til tid T iflg. afsnit 2.2 formen 

ln P(t, T) 

y(t, T) = − 

T − t = −A(t, T) − B(t, T)⊤ xt 

T − t 

Observationsligningen for vores m nulkuponrenter bliver derfor: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−A(tj,T1) 

y(tj, T1) 

T1−tj 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ . ⎠ = ⎜ 

⎝ . 

⎟ 

⎠ 

y(tj, Tm) 

−A(tj,Tm) 

+ 

⎛ 

B1(tj,T1) 

T1−tj ⎜ 

⎝ 

. . . Bn(tj,T1) 

. 

. .. 

⎞ ⎛ 

T1−tj ⎟ 

. 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

B1(tj,Tm) 

Tm−tj 

Tm−tj 

. . . Bn(tj,Tm) 

Tm−tj 

Dette er den teoretiske observationsligning ud fra den affine model. Hvis vi 

har flere løbetider end underliggende faktorer (m > n), vil det i praksis være 

svært for denne ligning at holde. I vores state-space fremstilling er der derfor 

et extra støjled 7 med for hver løbetid. Dette støjled kommer fra, at vores 

nulkuponrenter er fremkommet ved en estimation til hvert tidspunkt ud fra 

handlede aktiver (se afsnit 4). Derved kommer der dels fejl fra selve estimationen, 

fra bid-ask spreads p˚a de handlede aktiver, afrunding af priserne 

og asynkron notering af priserne m.v. (Lund (1997a), de Jong (2000)). Vi 

laver her yderligere den simplifikation, at alle m˚alefejlene antages at være 

uafhængige og identisk fordelte. H matricen reduceres derved til en diago- 

nalmatrix med ens elementer. Det virker meget rimeligt, specielt i den korte 

ende, mens den lange ende af nulkuponrentestrukturen er fremkommet ved 

en høj grad af extrapolation, og derfor er der formentlig en større usikkerhed 

her. 

3.1 Udledning af Kalman filteret 

N˚ar vi har givet et system p˚a state-space form, ligger den primære interesse 

i at kunne give estimater af den underliggende proces (Xt)t≥0. De første 

7 Hvis den teoretiske ligning holdt i praksis ville fordelingen af fejlleddene være singulær. 

19 

x 1 tj 

. 

x n tj 

⎞ 

⎟ 

⎠

anvendelser af et Kalman filter var i rumfarten, hvor man ud fra tilgængelige 

oplysninger fra en rumraket om fx fart m.v. ønskede at estimere position i 

rummet. I vores setup ønsker vi tilsvarende at kunne estimere de faktorer, 

der bestemmer dynamikken for spot-renten. Egentligt ønsker vi at kunne 

estimere de ukendte koefficienter i de matricer, der definerer vores statespace 

model, og derved identificere parametrene i vores affine modeller for 

rentestrukturen som beskrevet i hhv. afsnit 2.4 og 2.5. Dette problem løses 

dog som en sidegevinst udfra Kalman filtreringen, idet likelihood-ligningen 

for de ukendte parametre fremkommer som et biprodukt af filtreringerne. 

Vi indfører filtreringen frembragt af observationerne til og med tj som Ftj = 

σ 

8 Yt1, . . .,Ytj for 1 ≤ j ≤ N, hvor N er antallet af observationstidspunkter. 

Vi lader Xtj|ti betegne forventningen til Xtj givet filtreringen Fti . Dvs. 

Xtj|ti = E Xtj |Fti 

 

og vi lader P tj|ti 

P tj|ti 

være kovariansmatricen for Xtj|ti dvs. 

Xtj 

⊤ 

= E − Xtj|ti Xtj − Xtj|ti 

Vi kalder Xtj|ti et forecast n˚ar j > i og en filtrering9 n˚ar i = j. Filtreringen er 

alts˚a en opdateret inferens omkring den underliggende variabel. State-space 

formen betyder, at Xtj kan skrives som en linearkombination af startværdien 

Xt0 og fejlledene mellem tid t1 og tj, hvilket fremkommer ved at benytte vores 

antagelse om ækvidistante tidspunkter 

 

 

Xtj = C + D Xtj−1 + ωtj = C + D 

 

C + D Xtj−2 + ωtj−1 + ωtj 

= I + D + . . . + D j−1 

 

C + ωtj + Dωtj−1 + . . . + Dj−1ωt1 + DXt0 

Det bemærkes, at der skal gælde nogle regularitetsbetingelser p˚a vores C 

og D matricer, for at processen er stationær. Disse vil vi dog ikke komme 

nærmere ind p˚a her. Vi vil antage, at startpunktet for processen er kendt 

p˚a forh˚and, s˚aledes at b˚ade Xt0|t0 = Xt0 og P t0|t0 er faste 10 og uafhængige 

af støjprocesserne. P t0|t0 er et udtryk for usikkerheden p˚a startgættet af ini- 

tialværdien for processen. Hvis processen er kovariansstationær, kunne man 

8 Bemærk at denne filtrering ikke er ækvivalent med Ft hørende til P og Q. Denne indeholder 

information om de sande realisationer af den uobserverbare vektorproces, hvilket 

ikke er tilfældet for Ftj. Dermed er Xtj ikke Ftj-m˚alelig. 

9 For i < j kaldes det smoothing. Rekursionerne til smoothing findes fx i Harvey (1990) 

10 Da vores tidserie er relativ lang, bliver vores startgæt ikke af afgørende betydning. 

20

passende benytte den ubetingede middelværdi og kovarians. N˚ar vi s˚aledes 

har kendte startværdier er fordelingen af Xtj|ti igen en flerdimensional normalfordeling. 

Forecastet af den underliggende proces findes som 

Xtj|tj−1 = E Xtj |Ftj−1 

 

 

= E C + DXtj−1 + ωtj 

 

= E C + DXtj−1 

Ftj−1 + E 

ωtj 

Ftj−1 

 

= C + E DXtj−1 

Ftj−1 = C + DXtj−1|tj−1 

Ftj−1 

og kovariansen p˚a denne 

Xtj 

⊤ 

P tj|tj−1 = E − Xtj|tj−1 

Xtj − Xtj|tj−1 

 

 

⊤ 

= E C + DXtj−1 + ωtj − Xtj|tj−1 C + DXtj−1 + ωtj − Xtj|tj−1 

= E D 

Xtj−1 − Xtj−1|tj−1 + ωtj D 

⊤ 

Xtj−1 − Xtj−1|tj−1 + ωtj 

Xtj−1 

⊤ 

= DE − Xtj−1|tj−1 

Xtj−1 − Xtj−1|tj−1 D ⊤ 

+ E 

= D P tj−1|tj−1 D⊤ + V 

 

ωtj ω⊤ tj 

hvor vi i fjerde lighedstegn har brugt, at ωtj er uafhængig af fortiden. Forecastene 

er alts˚a rekursivt bestemt af de filtrerede værdier. For at finde de 

filtrerede værdier definerer vi innovationen som 

vtj = Y tj − E 

 

Y 

tj 

Ftj−1 = Y tj − E A + BXtj + ǫtj 

Ftj−1 

= Y tj − A − B E 

Xtj + ǫtj 

Ftj−1 = Y tj − A − BXtj|tj−1 

Innovationen er igen flerdimensionalt normalfordelt med dimension m og 

middelværdi 

E 

vtj = E Y tj − E 

Y 

tj 

Ftj−1 = E Y tj − E E Y 

tj 

Ftj−1 = 0 

og kovariansmatrix givet som 

 

 

⊤ 

F tj = E Y tj − A − B Xtj|tj−1 Y tj − A − B Xtj|tj−1 

 

 

⊤ 

= E A + B Xtj + ǫtj − A − B Xtj|tj−1 A + B Xtj + ǫtj − A − B Xtj|tj−1 

Xtj 

⊤ 

= BE − Xtj|tj−1 

Xtj − Xtj|tj−1 B ⊤ 

+ E 

= B P tj|tj−1 B⊤ + H 

21 

ǫtj ǫ⊤ tj

hvor vi igen har brugt, at støjleddet er uafhængig af fortiden. Den betingede 

kovariansmatrix mellem innovationsprocessen og den underliggende proces, 

der begge er flerdimensionalt normalfordelte, findes som 

Xtj 

E − Xtj|tj−1 Y tj − E 

Y ⊤ 

tj 

Ftj−1 

 

Xtj 

 

= E − Xtj|tj−1 

 

B 

⊤ 

Xtj − Xtj|tj−1 + ǫtj 

Xtj Xtj 

⊤ 

⊤ 

= E − Xtj|tj−1 

Xtj − Xtj|tj−1 B + E − Xtj|tj−1 ǫtj = P tj|tj−1 B⊤ 

Men det betyder, at fordelingen af den underliggende proces og innovationsprocessen 

betinget med Ftj−1 kan skrives som 

 

Xtj 

P Xtj|tj−1 

tj|tj−1 P tj|tj−1 

Ftj−1 ∼ N 

, 

vtj 

0 

B⊤ 

 

B P tj|tj−1 F tj 

Den filtrerede værdi af den underliggende proces er forventningen til den 

første delvektor af denne flerdimensionale normalfordeling betinget med den 

anden del 

Xtj|tj = E 

Xtj 

Ftj = E Xtj 

Ftj−1 , vtj 

Før vi kan finde et udtryk for denne, har vi brug for en linearkombination af 

de to delvektorer, der er uafhængig af den sidste delvektor. Vi vil alts˚a finde 

en ikke-singulær matrix C af dimension n×m, der opfylder (følger Anderson 

(2003)) 

hvor 

U 1 = Xtj + Cvtj , og U2 = vtj 

 

U 1 1 

E − E U U 2 − E U 2⊤ 

 

 

Ftj 

 

= 0 

Vi kan nu bestemme C som 

 

U 1 1 

E − E U U 2 − E U 2 

⊤ 

 

Ftj 

vtj = E Xtj + C vtj − E Xtj + C vtj − E vtj 

 

Xtj = E − E 

Xtj 

vtj − E ⊤ vtj + C vtjv⊤ 

 

 

tj 

= P tj|tj−1 B⊤ + C F tj 

22 

Ftj 

 

 

⊤ 

Ftj

hvilket giver 

C = −P tj|tj−1 B⊤ F −1 

tj 

Vi har i andet lighedstegn ovenfor benyttet, at forventningen til innovationen 

betinget med filtreringen til tid tj−1 er 0. Forventningen til vores linearkombination 

af de to delvektorer findes som 

E U 1 

Ftj−1 = E Xtj + C vtj 

Ftj−1 = Xtj|tj−1 

og kovariansmatricen for U 1 

 

U 1 1 

E − E U U 1 − E U 1 

⊤ 

 

Ftj−1 

 

 

⊤ 

= E Xtj + C vtj − E Xtj + C vtj 

Xtj + C vtj − E Xtj + C vtj 

Ftj−1 

 

Xtj = E − E 

Xtj 

Xtj − E ⊤ 

Xtj + C vtj − E 

vtj 

vtj − E ⊤ ⊤ 

vtj C 

+ Xtj − E 

Xtj 

vtj − E ⊤ ⊤ 

vtj C + C vtj − E 

vtj 

Xtj − E 

⊤ 

Xtj 

= P tj|tj−1 + C F tjC⊤ + P tj|tj−1B⊤C ⊤ + C B P tj|tj−1 

= P tj|tj−1 + P tj|tj−1B⊤F −1 

tj F 

tj P tj|tj−1B⊤ F −1 

⊤ tj 

−P tj|tj−1 B⊤ F −1 

tj B P tj|tj−1 − P tj|tj−1 B⊤ 

= P tj|tj−1 − P tj|tj−1B⊤ F −1 

tj B P tj|tj−1 ≡ Σ 

 

⊤ 

P tj|tj−1 B⊤ F −1 

tj 

 

hvor vi i sidste lighedstegn har brugt, at F −1 

 

tj = F ⊤ −1 tj = F −1 

tj , idet F tj 

er en kovariansmatrix. Da en linearkombination af normalfordelinger igen er 

normalfordelt, bliver U 1 og U 2 flerdimensionalt normalfordelte med fordeling 

givet som 

1 

U 

U 2 

 

Σ 0 

Xtj|tj−1 

Ftj−1 ∼ N 

, 

0 0 F t 

Tætheden for de oprindelige delvektorer kan vi finde ved, at transforme 

tilbage igen. Dette gøres blot ved at sætte U 1 = Xtj + C vtj og U2 = vtj 

ind igen, idet vi bemærker, at Jacobi-matricen for transformationen har determinant 

1 

 

 

 

 

 

−1 

I −P tj|tj−1B F tj 

0 I 

23 

 

 

 

= 1 

 

⊤ 

Ftj

Tætheden er alts˚a givet som 

f Xtj , vtj 

 

Ftj−1 

= 

1 

(2π) n/2 |Σ| × 

 

exp − 1 

 

Xtj + C vtj − Xtj|tj−1 

2 

1 

× 

(2π) m/2 

exp − 

|F tj | 1 

2 v⊤ −1 

tjF tj vtj 

 

⊤ Σ −1 

 

Xtj 

+ C vtj − Xtj|tj−1 

Det er nu nemt at se, at den betingede fordeling af Xtj givet vtj er det første 

led i produktet ovenfor, idet vi finder den betingede fordeling ved at dele 

ovenst˚aende tæthed med tætheden for vtj , og sidste led alts˚a forsvinder ud, 

dvs. 

f 

 

1 

Xtj 

Ftj−1 , vtj = 

(2π) n/2 |Σ| × 

 

exp − 1 

 

⊤ Xtj + C vtj − Xtj|tj−1 Σ 

2 

−1 

 

 

Xtj + C vtj − Xtj|tj−1 

 

Den betingede fordeling er dermed en n-dimensional normalfordeling med 

middelværdi 

E 

Xtj 

Ftj−1 , vtj = C vtj + Xtj|tj−1 = Xtj|tj−1 − P tj|tj−1B⊤ F −1 

tj vtj 

og kovariansmatrix 

Cov 

Xtj 

Ftj−1 , vtj = Σ = P tj|tj−1 − P tj|tj−1B⊤ F −1 

tj B P tj|tj−1 

Det er netop disse to størrelser, vi tidligere har defineret som hhv. Xtj|tj og 

P tj|tj , alts˚a vores filtrerede værdi af den underliggende proces og kovariansmatricen 

p˚a dette estimat. 

Vi har her udledt Kalman filter rekursionerne ved brug af normalfordelingens 

egenskaber. Vi kunne p˚a helt tilsvarende vis have udledt de samme 

filterligninger ved hjælp af lineære projektioner ind p˚a underrummet ud- 

spændt af Ftj 

 

(se Harvey (1990)). Dermed ville middelværdioperatoren være 

projektionen og kovariansmatricen bliver til en mean squared error (MSE). 

I dette tilfælde bliver Kalman filteret optimalt indenfor klassen af forecasts, 

der er lineær i de observerede værdier. Hvis begge fejlledene derimod er 

flerdimensionalt normalfordelte som ovenfor, bliver forecastet optimalt blandt 

alle funktioner p˚a underrummet udspændt af Ftj , fordi lineærprojektion 

og betinget forventning er ækvivalente i det normalfordelte tilfælde. 

24

Da forecastene alts˚a blot er linearkombinationer af den observerede vektorproces, 

bliver ogs˚a innovationerne normalfordelte, som vi har set tidligere. 

Dette gør det nemt at opstille en likehoodfunktion baseret p˚a disse. Dette 

kaldes prediction error decomposition eller innovations form of the likelihood 

function. Idet vi lader Θ betegne vektoren af de ukendte parametre, vi vil 

drage inferens omkring, bliver loglikelihoodfunktionen (p˚anær et konstantled) 

l(Θ FtN ) = 

N 

i=1 

li(Θ Fti ) = − 

N 

 

ln F tj (Θ) 

 

 

+ vti (Θ)⊤F tj (Θ)−1vti (Θ) 

i=1 

Størrelserne i likelihoodfunktionen bliver beregnet, idet man gennemløber 

Kalman rekursionerne fra tid t1 til tN. Herefter kan vi bruge almindelig maksimum 

likelihood estimation til at finde Θ 

ˆΘ = arg max Θl(Θ FtN ) 

Vi bruger en quasi-Newton metode til at maksimere likelihoodfunktionen 

numerisk. Alternativt kan man udregne eksakte afledte af likelihoodfunktionen 

og benytte en almindelig Newton-Raphson metode. Desuden findes 

forskellige andre metoder til at gøre de rekursive beregninger af likelihooden 

hurtigere (se Harvey (1990)). Specielt er determinanten og den inverse af F tj 

tidskrævende. Shumway og Stoffer (1982, 2000) foresl˚ar alternativt en ’manglede 

data’-tilgang, hvor man maksimerer likelihoodfunktionen ved hjælp af 

en EM-algoritme. 

3.2 Kalman filtrering af multifaktor Gaussisk model 

Den diskrete tidsdynamik for en multifaktor Gaussisk model, der udgør vores 

underliggende vektorproces i state-space formuleringen, følger af afsnit 2.4. 

Herved f˚ar vi, at diskrettidsfordelingen er en VAR(1) proces med normalfordelte 

fejlled og dermed bliver overgangsligningen (25) i state-space formuleringen 

til 

hvor 

Xtj 

= D Xtj−1 + ωtj 

⎛ 

exp [−κ1∆t] . . . 

⎜ 

D = ⎝ 

. 

. .. 

0 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 . . . exp [−κn∆t] 

25

og kovarians-matricen for ωtj er som udledt i afsnit 2.4. Da vi, som tidligere 

nævnt, har et fast tidsskridt mellem observationerne bliver koefficientmatricerne 

tidsinvariante. Algoritmen bliver 

1. Vælg Xt0|t0 og P t0|t0. Udregn koefficientmatricerne A, B, C, D, V og 

H til state-space ligningerne for givne parametre Θ. 

2. Lav forecast og find kovariansen p˚a dette 

Xtj|tj−1 

= C + D Xtj−1|tj−1 

P tj|tj−1 = D P tj−1|tj−1 D⊤ + V 

3. Udregn innovationen og dennes kovarians 

vtj = Y tj − A − B Xtj|tj−1 

F tj = B P tj|tj−1 B⊤ + H 

4. Find det j’te led i loglikelihooden 

 

 

lj = − log F tj 

− v ⊤ tj 

F −1 

tj vtj 

5. Opdater estimatet p˚a den underliggende proces, dvs. lav filtreringen 

Xtj|tj = Xtj|tj−1 − P tj|tj−1 B⊤ F −1 

tj vtj 

P tj|tj = P tj|tj−1 − P tj|tj−1 B⊤ F −1 


6. For j < N g˚a tilbage til punkt 2. For j = N find loglikelihoodfunktionen 

ved at summere bidragene fra punkt 4. 

3.3 Kalman filtrering af CIR-modeller 

Baseret p˚a udledningen af de 2 første betingede momenter i CIR-modeller i 

afsnit 2.5, kan vi skrive den diskrete overgangsligning for den underliggende 

proces i state-space formuleringen som VAR(1) processen 

Xtj 

= C + D Xtj−1 + ωtj 

26

hvor 

C = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 − e −κ1∆t φ1 

κ1 

. 

1 − e −κn∆t φn 

κn 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

exp (−κ1∆t) . . . 

⎜ 

D = ⎝ 

. 

. .. 

0 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 . . . exp (−κn∆t) 

og kovarians-matricen for ωtj er som angivet i afsnit 2.5. Dette bryder dog 

med Kalman filteret, som vi har udledt det, idet dynamikken nu ikke er Gaussisk 

i den underliggende vektorproces, og fordi kovariansmatricen kommer til 

at afhænge rekursivt af værdien af processen selv. 

Det er muligt at implementere eksakte filterligninger for ikke-Gaussiske fordelinger 

og derved f˚a den eksakte likelihoodfunktion (se Harvey (1990), side 162-165 

eller Lund (1997b)), men det kræver numerisk integration at kunne h˚andtere 

dem her, og det vil være meget tidskrævende i flerdimensionale tilfælde. Vi vil 

i stedet bruge en approksimativ Gaussisk quasi maksimum likelihood metode 

baseret p˚a det lineære Kalman filter vi udledte ovenfor (Duan og Simonato 

(1995), Chen og Scott (1995), Lund (1997a og 1997b), Geyer og Pichler 

(1999), de Jong (2000) og andre). 

Ideen i quasi maksimum likelihood (herefter QML) metoden er at bruge en 

overgangsligning for den underliggende proces i det lineære Kalman filter, 

hvor vi skifter den eksakte fordeling ud med en normalfordeling. Den nye 

normalfordeling vælges s˚aledes, at vi matcher det første og andet betinget 

moment med dem fra den eksakte fordeling. Vi modificerer Kalman filteret i 

yderligere to henseender 

1. Den betingede kovarians i CIR-modellen afhænger af den realiserede 

værdi af den underliggende proces Xtj−1 . Da den er uobserverbar og 

ikke indeholdt i Ftj−1 , benytter vi i stedet den filtrerede værdi af processen 

Xtj|tj n˚ar vi beregner kovariansen. Denne modificering af det 

lineære Kalman filter kaldes for det udvidede Kalman filter (Extended 

Kalman Filter) (se Harvey (1990), side 160-162). 

2. Multifaktor CIR-modellen er opbygget af kvadratrodsprocesser, der 

ikke tillader, at værdierne for tilstandsvariablene bliver negative. Det 

lineære filter tager ikke højde for dette n˚ar estimaterne af processen 

opdateres, og for at kompensere for dette erstatter vi negative værdier 

27

med et 0. Dette gøres for at undg˚a en kovariansmatrix, der kunne være 

negativ definit. 

I de tilfælde, hvor vi bliver nødt til at erstatte negative værdier af den underliggende 

proces med 0, bliver vores forecast ikke optimalt i projektionsforstanden. 

Det er ikke muligt ex ante at kontrollere, om filteret vil være lineært 

optimalt. Men dette kan kontrolleres ex post, n˚ar rekursionerne gennemløbes. 

En tilstrækkelig betingelse for at QML metoden for betingede heteroskedastiske 

modeller (som her) giver konsistente estimater, er ifølge Bollerslev og Wooldrigde 

(1992), at det første og andet betinget moment for fejlen p˚a forecastet en periode 

frem er korrekt specificeret. Dette gør sig imidlertid ikke gældende i 

vores tilfælde 

E 

 

vtj 

Ftj−1 = E Y tj − A − B Xtj|tj−1 

Ftj−1 

 

 

= E A + B Xtj + ǫtj 

Ftj−1 − E A + B Xtj|tj−1 

Ftj−1 

= B E 

Xtj 

Ftj−1 − Xtj|tj−1 = 0 

Her følger andet lighedstegn, idet forecastet Xtj|tj−1 er Ftj−1 m˚alelig. ’Forskellig 

fra’-relationen kommer fra, at vi i det lineære Kalman filter bruger en 

lineær projektion som vores forecast, og n˚ar fordelingen ikke er Gaussisk, er 

dette ikke nødvendigvis det samme som den betingede forventning. Selvom 

vores Kalman filter ikke giver konsistente estimater, giver det stadig et optimalt 

forecast indenfor klassen af lineære estimater af Xtj . Lund (1997a) 

viser, hvordan man ved at bruge den ubetingede kovarians for den underliggende 

proces i Kalman filteret kan f˚a asymptotisk konsistente estimater 

ud fra QML-metoden. Men et Monte Carlo studie for en endelig tidshorisont, 

giver faktisk større bias med end uden korrektionen af kovariansen. Det er 

uklart hvorvidt dette kan generaliseres, men vi vælger p˚a linje med bla. Duan 

og Simonato (1995) ikke at bruge korrektionen. I de tilfælde, hvor det 

beskrevne bias ikke er alt for stort, ved vi ogs˚a, at QML giver asymptotisk 

normalfordelte estimater 

√ 

L1 

N ˆΘN − Θ → N 0, Σ( ˆ 

Θ) for N → ∞ 

hvor 

Σ( ˆ Θ) = H( ˆ Θ) −1 G( ˆ Θ)H( ˆ Θ) −1 

28

og 

H( ˆ Θ) = 

G( ˆ Θ) = 

N ∂2ltj (Θ) 

∂Θ∂Θ ⊤ 

 

 

 

N 

 

∂ltj (Θ) 

 

 

 

∂Θ 

j=1 

j=1 

Θ= ˆ Θ 

Θ= ˆ Θ 

 

∂ltj (Θ) 

∂Θ ⊤ 

 

 

 

Θ= ˆ Θ 

Jf. Hamilton (1994, side 389) er denne angivelse en metode til korrekt at 

estimere kovariansmatricen, n˚ar der anvendes QML. 

Algoritmen bliver 

1. Vælg Xt0|t0 og P t0|t0 . Udregn koefficientmatricerne A, B, C, D og H 

til state-space ligningerne for givne parametre Θ. 

2. Udregn den betingede kovariansmatrix for den underliggende proces 

V tj ved at benytte Xtj|tj i stedet for den ukendte realisering af pro- 

cessen Xtj . 

3. Lav forecast og find kovariansen p˚a dette 

Xtj|tj−1 

= C + D Xtj−1|tj−1 

P tj|tj−1 = D P tj−1|tj−1 D⊤ + V tj 

4. Udregn innovationen og dennes kovarians 

vtj = Y tj − A − B Xtj|tj−1 

F tj = B P tj|tj−1 B⊤ + H 

5. Find det j’te led i loglikelihooden 

 

 

lj = − ln F tj 

− v ⊤ tj 

F −1 

tj vtj 

6. Opdater estimatet p˚a den underliggende proces, dvs. lav filtreringen og 

erstat med 0, hvis den filtrerede værdi bliver negativ: 

 

 

= max 

Xtj|tj 

 

Xtj|tj−1 − P tj|tj−1B⊤F −1 

tj 

vtj , 0 

P tj|tj = P tj|tj−1 − P tj|tj−1 B⊤ F −1 


7. For j < N g˚a tilbage til punkt 2. For j = N find loglikelihoodfunktionen 

ved at summere bidragene fra punkt 5. 

29

3.4 Monte Carlo simuleringer 

Da vi ved, at vores Kalman filter algoritme kun er approksimativt quasi 

optimalt, laver vi her et mindre Monte Carlo studie af vores implementerede 

algoritmer. Det gør vi for at undersøge bias og stabilitet af de estimater, vi 

finder ud fra datasæt med en endelig tidshorisont. Monte Carlo studiet for 

en given rentemodel sker efter følgende fremgangsm˚ade 

1. Vi simulerer de underliggende faktorer til 500 tidspunkter, og vi lader 

afstanden mellem hver observation være en uge. Dette gør vi, da 

vores rigtige datasæt netop best˚ar af 532 observationer med ugentligt 

frekvens. 

2. Ved hjælp af den givne parametre simulerer vi de underliggende faktorer. 

Selve simuleringen af faktorerne foretages efter et Euler skema, 

hvor vi bruger 50 tidsskridt mellem hver ugentlig observation. 

3. N˚ar vi har faktorerne danner vi den teoretiske rentekurve og vælger 10 

nulkuponrenter ud. Vi bruger de samme løbetider, som vi har i vores 

rigtige datasæt, dvs. 1 mdr, 3 mdr, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 30 ˚ar. 

4. M˚alefejlene p˚a de enkelte nulkuponrenter simuleres fra uafhængige normalfordelinger 

med middelværdi 0 og samme varians. 

5. Det simulerede datasæt best˚ar nu af nulkuponrenterne til de 10 faste 

løbetider inklusiv individuelle m˚alefejl observeret til 500 tidspunkter. 

Derefter det relevante Kalman filter til estimation. 

6. Punkt 1-5 gentages 500 gange. 

Som startgæt p˚a parameterestimaterne i Kalman filter algoritmen, bruger vi 

de samme paramterværdier, som vi faktisk simulerede rentestrukturen med. 

Vi Monte Carlo simulerer b˚ade for hhv. 1-3 faktor Gaussiske og CIR-modeller. 

Resultaterne ses i Tabel 9-14. 

I de Gaussiske modeller er der ikke noget specielt stort bias. Der er dog 

en tendens til at b˚ade bias og standardafvigelserne bliver større, n˚ar antallet 

af faktorer øges. Det er naturligt, at standardafvigelsen stiger, da vi p˚a 

den samme størrelse datasæt forsøger at estimere flere parametre. Som hos 

Lund (1997b) er der mest usikkerhed p˚a risikopræmien og middelniveauet 

for renten. Det skyldes primært, at disse to parametre er korrelerede. 

30

I CIR-modellerne lader der til at være samme billede som for de Gaussiske 

modeller, men bias stiger mere ved tilføjelse af flere faktorer. Specielt er estimaterne 

fra 3-faktor modellen behæftet med større usikkerhed end de øvrige 

modeller. Dette er samme tendens, som findes i Geyer & Pichler (1998). 

31

Del II 

Empiriske Anvendelser 

32

4 Beskrivelse af data 

Som bekendt er forudsætningen for eksistensen af en kontinuert rentestruktur 

til tidspunkt t, at priser p˚a NKO’er eksisterer kontinuert for tidspunkter 

T ≥ t. Dette er oplagt ikke tilfældet, men Kalman filteret er dog fleksibelt nok 

til at overkomme dette problem. Et andet umiddelbart problem er, NKO’er 

i Danmark kun bliver udstedt med løbetider p˚a maksimalt et ˚ar, og heraf 

bliver der kun handlet 4 p˚a samme tid - vi har alts˚a ikke umiddelbart nogen 

tilgængelig information omkring f.eks. det 30-˚arige punkt p˚a rentestrukturen. 

Dette problem løses ved i stedet at anvende de observerede par-renter for 

(rente)swaps af forskellige løbetider fra Nordea Analytics kombineret med en 

udvidet Nelson-Siegel estimationsmetode, jf. Svensson (1995) 

Rente (%) 

3.0 3.5 4.0 

0 5 10 15 20 25 30 

Figur 1: Observerede rentesatser per 28. februar 2006 samt estimeret 

rentestruktur. 

Dette er gjort i perioden 3. januar 1996 til 8. marts 2006 med ugentlig 

frekvens om onsdagen for at undg˚a manglende observationer og ugedageseffekter, 

jf. Lund (1997a). Vi har valgt par-renter med 1 og 3 mdr. samt 1, 2, 

33 

T−t

3, 5, 7, 10, 15 og 30˚ars restløbetider. Dette resulterer i 532 dagsobservationer 

og til hver af disse 10 observerede rentesatser. 

N˚ar man ser p˚a udviklingen i nulkuponrenterne, dels over tid og p˚a tværs af 

løbetider, ser man en meget stærk indbyrdes afhængighed. I tabel 1 kan vi se, 

at korrelationerne mellem løbetiderne er ekstremt store. Korrelationen m˚aler 

graden af lineær afhængighed mellem renterne, og vi kan alts˚a se, at renteændringer 

i høj grad følges ad, endog ved et lineært mønster. Hvis vi ser p˚a autokorrelationerne 

for løbetiderne, jf. tabel 2, ser vi igen en stærk afhængighed 

mellem renteniveauet den ene uge og den foreg˚aende uge. Da autokorrelationerne 

er positive, betyder det, at niveauerne ikke svinger voldsomt ud fra uge 

til uge, men at store niveauskift sker over længere tidsperioder. Det er netop 

disse stærke afhængigheder, der er en af hovedmotivationerne for at forsøge 

at opstille modeller for rentestrukturen som et hele. 

5 Principal komponent analyse 

Vi vil her foretage en principal komponent analyse (se fx Anderson (2003)) 

af korrelationsmatricen for at f˚a et mindre antal faktorer til at beskrive de 

mest almindelige ændringer i rentestrukturen p˚a tværs af løbetiderne. 

Vi finder her p˚a linje med Litterman & Scheinkman (1991), at 3 faktorer 

st˚ar for langt den største del af ændringerne 11 . De beskriver tilsammen 99.5 

procent af variationen. Den første faktor, der i figur 2 er afbildet med sort, 

st˚ar alene for hele 83.6 procent af variationen. Et skift i denne faktor svarer til, 

at rentestrukturen parallelforskydes. Der er en svag tendens til, at den korte 

ende svinger lidt mere end den lange ende. Den anden faktor, som er afbildet 

som den røde linje, st˚ar for 14.4 procent af variationen. En ændring i denne 

faktor f˚ar den korte ende med løbetider op til 4 ˚ar til at forskydes modsat 

af den lange ende af rentestrukturen med løbetider over de 4 ˚ar. Endelig er 

der den tredje faktor, som kun st˚ar for 1.5 procent af variationen, men som 

stadig er vigtig, hvis man vil lave et godt hedge mod renteændringer. En 

stigning i den tredje faktor vil f˚a renten for løbetiderne mellem cirka 1 ˚ar og 

10 ˚ar til at stige, mens de resterende løbetider vil falde. Det er de helt korte 

og de helt lange løbetider, der vil falde mest, mens det p˚a den anden side 

er løbetider omkring 2-3 ˚ar, der vil stige mest. Ved et fald i denne faktor vil 

ændringerne i renten selvfølgelig være de modsatte. 

11 Litterman & Scheinkman (1991) dekomponener kovariansmatricen, mens vi dekomponerer 

korrelationsmatricen. De to metoder er ikke ækvivalente, men giver resultater, der 

er meget lig hinanden. 

34

35 

1 mdr. 3 mdr. 1 ˚ar 2 ˚ar 3 ˚ar 5 ˚ar 7 ˚ar 10 ˚ar 15 ˚ar 30 ˚ar 

1 mdr. 1.000 

3 mdr. 0.994 1.000 

1 ˚ar 0.942 0.971 1.000 

2 ˚ar 0.886 0.921 0.982 1.000 

3 ˚ar 0.830 0.866 0.942 0.987 1.000 

5 ˚ar 0.731 0.765 0.851 0.928 0.974 1.000 

7 ˚ar 0.655 0.686 0.774 0.865 0.931 0.989 1.000 

10 ˚ar 0.578 0.605 0.692 0.793 0.874 0.959 0.990 1.000 

15 ˚ar 0.509 0.532 0.617 0.723 0.814 0.918 0.964 0.991 1.000 

30 ˚ar 0.453 0.473 0.555 0.661 0.753 0.863 0.914 0.951 0.980 1.000 

Tabel 1: Korrelationer p˚a tværs af de enkelte løbetider i datasættet.

Løbetid Middelværdi Std.afv AC(1) AC(5) AC(10) AC(20) 

1 mdr. 0.0354 0.0106 0.9914 0.9673 0.9358 0.8437 

3 mdr. 0.0358 0.0105 0.9952 0.9747 0.9450 0.8586 

1 ˚ar 0.0377 0.0107 0.9957 0.9747 0.9412 0.8568 

2 ˚ar 0.0407 0.0105 0.9947 0.9697 0.9316 0.8452 

3 ˚ar 0.0434 0.0105 0.9944 0.9685 0.9304 0.8457 

5 ˚ar 0.0477 0.0109 0.9949 0.9723 0.9414 0.8692 

7 ˚ar 0.0510 0.0113 0.9954 0.9759 0.9511 0.8908 

10 ˚ar 0.0547 0.0118 0.9959 0.9795 0.9599 0.9113 

15 ˚ar 0.0583 0.0124 0.9942 0.9803 0.9633 0.9237 

30 ˚ar 0.0622 0.0139 0.9675 0.9565 0.9351 0.9008 

Tabel 2: Middelværdier, standard afvigelser og autokorrelationer for de 

enkelte løbetider i datasættet. 

Factor loading 

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 

Faktor 1 

Faktor 2 

Faktor 3 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

Figur 2: Factor loadings for de 3 faktorer fremkommet via principal komponent 

analyse. 

36

Vores dekomponering af rentestrukturens korrelationsmatrix er meget lig med 

Litterman & Scheinkman, de 3 faktorer vi finder er næsten identiske med 

dem, der findes for den amerikanske statskurve. Vi kan tolke vores faktorer 

hhv. som ændringer i rentekurvens niveau, stejlhed og krumning. Faktor 2 og 

3 bliver alts˚a en ændring i den første og anden afledte af rentekurven. I klassiske 

hedgestrategier er det kun den første faktor, man kan sikre sig overfor. 

Hvis man laver varighedsimmunisering af sin obligationsportefølje er man 

netop sikret mod parallelforskydninger af rentestrukturen. Men som vi kan 

se p˚a vores 2 andre faktorer er dette bestemt ikke nok til at sikre porteføljen. 

Der findes dog ikke tilsvarende let tilgængelige nøgletal, der beskriver en 

porteføljes følsomhed overfor de to sidste faktorer. Litterman & Scheinkman 

viser, hvordan man alligevel godt kan bruge sin viden om de primære skift i 

rentestrukturen til at foretage et hedge af sin portefølje. 

6 Estimationsresultater i de Gaussiske modeller 

Vi vil i dette afsnit beskrive estimationsresulaterne i de multifaktor Gaussiske 

modeller. Vi har implementeret Kalman filteret beskrevet i afsnit 3.2 i R. Som 

beskrevet i afsnit 3 har vi benyttet en quasi-Newton metode, dvs. alle afledte 

er udregnet vha. endelig differens metoder. 

Vores generelle erfaring er, at den Gaussiske model konvergerer s˚a snart en 

rimelig start vektor Θ0 er valgt. Dog har det langtsigtede renteniveau δ0 

en tendens til at antage høje værdier, i enkelte tilfælde værdier svarende 

til langsigtsrenteniveauet er p˚a 75 %. Som konsekvens af dette begrænsede 

vi parameteren δ0 til mere plausible værdier, ca. 10 %. Dette resulterede i 

pænere parameter estimater og højere likelihood værdier, dog blev standard 

afvigelsen p˚a parametren ogs˚a større. Dette indikerer, at likelihood’en har 

flere lokale maksima. 

6.1 1-faktor modellen 

I tabel 3 er de estimerede parametre i den 1-faktor Gaussiske model vist. 

Vi ser, at parameteren, der beskriver mean-reversion hastigheden, κ er insignifikant. 

Det lave estimat beskriver s˚aledes, at mean-reversionen i modellen 

sker langsomt, dvs. faktoren i modellen bevarer effekter i renteudviklingen i 

lang tid og beskriver herved det generelle niveau for renten. Hvis κ var lig 0 

37

κ 0.000011 

(0.000326) 

σ 0.016983 

(0.000153) 

λ -0.271498 

(0.001047) 

δ0 0.040404 

(0.173977) 

σe 0.005040 

(0.000042) 

Tabel 3: Estimerede parametre i den 1-faktor Gaussiske model. 

ville vi faktisk have en random walk, der ikke er stationær. Herved giver det 

ingen mening at sætte κ lig 0. 

Derudover er estimatet for δ0 ogs˚a insignifikant. Dette kan s˚aledes ogs˚a forklare 

estimationsproblemerne beskrevet i afsnittet ovenfor. Selve estimatet svarende 

til en rente p˚a 4.0 % virker i sig selv ganske plausibelt. Vi bemærker 

ogs˚a, at riskopræmien er negativ, præcis som forventet ud fra afsnit 2.3 

Givet definitionen p˚a spot-renten rt = δ0 + xt bør vi forvente, at summen af 

langsigtsnivauet δ0 og faktoren følger den korte rente. Dette er imidlertid ikke 

tilfældet. I figur 11 ser vi, at fittet til de korte renter er rimeligt. Derimod 

ser vi fra figur 12, at fittet til de 5, 7 og 10 ˚arige renter er bedre. Dette 

skyldes formentlig, at vi opn˚ar en større værdi af likelihood’en ved at fitte 

disse satser præcist, end vi ville ved at fitte den korte rente præcist. Fittet 

af faktoren indikerer ogs˚a, at den første faktor beskriver et generelt niveau 

for rentestrukturen. 

I tabel 15 ses tests for om modellen er korrekt specificeret. Det vedrører 

at residualerne i de enkelte løbetider har middelværdi nul og ikke udviser 

autokorrelation. Vi ser, at residualerne for 3 løbetider har middelværdi 

nul testet p˚a 5 % niveau, og at residualerne udviser autokorrelation for 

alle løbetider. Dette indikerer, at modellen ikke er specificeret korrekt i den 

henseende, at 1 faktor ikke alene er i stand til at beskrive udviklingen i 

rentestrukturen. 


I tabel 4 ses de estimerede parametre i den 2-faktor Gaussiske model. Vi 

ser, at alle parameterværdier er statistisk signifikante p˚a 5 % niveau. Dette 

38

i = 1 i = 2 

κi 0.276480 0.004526 

(0.004174) (0.000103) 

σi 0.011301 0.010089 

ρ1i 

(0.000379) (0.000217) 

1 

(-) 

ρ2i -0.845198 1 

(0.008253) (-) 

λi -0.595896 -0.104003 

(0.069337) (0.004255) 

δ0 0.037728 

(0.005173) 

σe 0.001891 

(0.000003) 


inkluderer δ0, der ellers i 1-faktor modellen var insignifikant. I denne model 

er κ1 > κ2, hvilket s˚aledes beskriver, at modellens to faktorer konvergerer 

i forskellig hastighed mod δ0. For κ2 har vi s˚aledes en faktor, der beskriver 

længerevarende effekter, dvs. faktor 2 kan fortolkes som et generel niveau 

over længere tidsperioder. Den højere værdi af κ1 indikerer s˚aledes en faktor, 

der beskriver rente spreads. 

Effekten af de enkelte faktorer p˚a rentekurven (factor loadings) bliver umiddelbart 

∂y(t, T, x) 

∂xi 

= Bi(t, T) 

T − t 

Imidlertid er der et problem ved at bruge de afledte ifht. xi, da de enkelte 

xi’er er korrelerede. Hvis vi lader Ω være korrelationsmatricen tilhørende x, 

s˚a findes der en elementvis ukorreleret variabel y, s˚aledes at x = Ω 1/2 y, hvor 

Ω 1/2 er Cholesky-dekompositionen af korrelations-matricen (se fx Hamilton 

(1994)). Dvs. herved kan vi f˚a en ’ren’ factor loading ved 

∂y(t, T, y) 

∂yi 

= 1 

 

B(t, T) 

T − t 

⊤ Ω 1/2 

 

i 

I figur 3 er factor loadings tilhørende faktor 1 og 2 plottet imod NKO’ens 

restløbetid, og som beskrevet ovenfor p˚avirker skift i faktor 2 bredt over alle 

39

løbetider. Derimod p˚avirker skift i faktor 1 ikke rentestrukturen ens. Kortere 

løbetider p˚avirkes mere end længere løbetider, mens for løbetider mellem 15 

og 30 ˚ar er effekten af faktor 1 næsten ens. 


−0.5 0.0 0.5 

Faktor 1 

Faktor 2 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

Figur 3: Factor loadings i den 2-faktor Gaussiske model. 

Det samme billede bliver bekræftet, hvis vi ser p˚a de filtrerede værdier over 

tid. Der er en korrelation mellem faktor 2 og 15˚ars renten p˚a 0.98. Tilsvarende 

er korrelationen mellem faktor 1 og spreadet mellem 3 mdr. og 15 ˚ars renten 

p˚a -0.94 12 . Dette ses ogs˚a i figur 4, hvor faktorerne er plottet overfor 15 ˚ars 

renten og spreadet over hele data-perioden. 

Vi bemærker ogs˚a at estimaterne for risikopræmien har det forventede negative 

fortegn, hvilket s˚aledes implicerer at investorer tager sig et merafkast ifht. 

spot-renten. Endelig har vi, at standard afvigelsen for m˚alefejlen er 19 bp mod 

50 bp i 1-faktor modellen. Dette indikerer, at modellen fitter den observerede 

rentestruktur bedre og følger ogs˚a ved kontrol af de enkelte løbetider (se figur 

12 Korrelationen er højere for spreadet mellem 1 og 15 ˚ars renten, men for konsistente 

sammenligninger med den 3-faktor Gaussiske model og CIR-modellerne, vælges konsekvent 

spreadet mellem 3 mdr. og 15 ˚ars renterne. 

40

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

Faktisk 15 årig rente 

Faktor 2 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

−0.02 0.00 0.02 0.04 

Spread mellem 3. mdr og 15 års renten 

Faktor 1 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

Figur 4: Faktor 2 plottet mod 15˚ars renten samt faktor 1 plottet mod spreadet 

mellem 3 mdr. og 15 ˚ars renterne. Bemærk at faktor 1 er plottet med 

negativt fortegn. 

13 og 14) samt af at værdien af loglikelihood’en er forbedret med ca. 20 %. 

13 

Ser vi p˚a test for model-specifikationen (tabel 16), ser vi, ligesom for 1faktor 

modellen, at residualerne udviser autokorrelation for alle løbetider. 

Desuden f˚ar vi ikke godkendt, at nogle af residualerne har middelværdi 0. 

Dette betyder s˚aledes at 2-faktor modellen ikke er tilstrækkelig til at beskrive 

udviklingen i rentestrukturen. 


I tabel 5 ses estimations-resultaterne fra den 3-faktor Gaussiske model. Vi 

ser, at mean-reversion hastighederne κi ligger p˚a hvert deres niveau. Som i 

2-faktor modellen kan faktor 2 betragtes som en faktor, der beskriver det 

generelle niveau, da vi har en lav mean-reversion hastighed κ2 og dertil ogs˚a 

lav diffusions-parameter σ2. Faktor 1 og 3 kan s˚aledes beskrive udviklingen 

i spreadet. Alternativt kan vi, som beskrevet i afsnit 5, betragte faktor 3 og 

faktor 1 som henholdsvis hældningen og krumningen p˚a rentekurven. Dette 

bekræftes ogs˚a, n˚ar vi ser p˚a modellens factor loadings i figur 5. Faktor 1 og 

3 har næsten ingen effekt p˚a de lange løbetider. 

I figur 6 har vi, ligesom for 2-faktor modellen, afsat de filtrerede værdier af 

faktor 2 sammen med de observerede værdier af den 15 ˚arige rente. Korrelationen 

ligger p˚a 0.97, hvilket er næsten samme niveau som i den foreg˚aende 

13 Formelt set bør vi foretage et likelihood-ratio-test. Dette undlader vi dog, idet vi ikke 

kender de sande egenskaber ved Kalman filtreringen af CIR-modellen. 

41


−0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 

Faktor 1 

Faktor 2 

Faktor 3 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

Figur 5: Factor loadings i den 3-faktor Gaussiske model. 


Faktor 2 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

−0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04 


Sum af faktor 1 og 3 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

Figur 6: Faktor 2 plottet mod 15 ˚ars renten, samt faktor 1 og 3 plottet mod 

spreadet mellem 3 mdr. og 15˚ars renterne. Bemærk at faktor 1 og 3 er plottet 

med negativt fortegn. 

42

i = 1 i = 2 i = 3 

κi 1.208332 0.000006 0.350173 

(0.038037) (0.000301) (0.008542) 

σi 0.016228 0.007652 0.017631 

ρ1i 

(0.000888) (0.000165) (0.000968) 

1 

(-) 

ρ2i 0.129522 1 

(0.058501) (-) 

ρ3i -0.837364 -0.517518 1 

(0.019118) (0.03716) (-) 

λi 0.062319 -0.113167 -0.351883 

(0.313245) (0.003202) (0.268813) 

δ0 0.044262 

(0.173673) 

σe 0.001097 

(0.000002) 


model. Da b˚ade faktor 1 og faktor 3 er med til at bestemme spreadet mellem 

de korte og de lange renter, har vi i figur 6 afbildet summen af de to faktorer 

sammen med spreadet mellem 3 mdr. renten og 15 ˚ars renten. Der er en 

næsten perfekt negativ korrelation p˚a -0.99. Det ser ud til, at de to faktorer 

tilsammen kan beskrive stort set alle ændringer i spreadet. Det stemmer 

ogs˚a fint overens med principal komponent analysen, hvor de 3 første faktorer 

beskriver hele 99.5 % af al variationen. Den forbedring vi kunne f˚a i 

forklaringen af spreadet ved anvendelse af flere faktorer er minimal. 

Risikopræmierne er negative for de to sidste faktorer og positiv for den første. 

I forhold til den forrige model har vi alts˚a her f˚aet en faktor, der er med til 

at justere risikopræmien i modsat retning af de to andre faktorer. Risikopræmierne 

er stadig s˚aledes, at det samlede merafkast er postivt, hvilket vi 

kan se ud fra afsnit 2.3. Vi ser endnu engang, at estimatet p˚a m˚alefejlens 

standardafvigelse er faldet ned til nu 10 bp. Faldet er dog mindre markant 

end før, s˚aledes at der er aftagende effekt af at udvide modellen med flere 

faktorer. 

Residualerne viser stadig en tendens til at være autokorrelerede ligesom i 

de forrige modeller, dog mindre markant. Samtidig er der nu 6 ud af 10 

løbetider, der f˚ar godkendt hypotesen om, at residualerne har middelværdi 

0. Selvom misspecifikationstestene er bedre end tidligere, er det stadig ikke 

43

en velspecificeret model. 

7 Estimationsresultater i CIR-modellerne 

Vi vil i dette afsnit beskrive estimationsresulaterne i multifaktor CIR-modellerne. 

Vi har implementeret Kalman filteret beskrevet i afsnit 3.3, i R. Som beskrevet 

i afsnit 3 har vi ogs˚a her benyttet en quasi-Newton metode, dvs. alle afledte 

er udregnet vha. endelig differens metoder. 

Vores erfaring er, at CIR-modellerne konvergerer s˚a snart en rimelig start 

vektor Θ0 er valgt. I modsætning til de Gaussiske modeller, har vi ikke i CIRmodellerne 

problemer med konvergens mod urealistiske parameterestimater. 

De enkelte mean-reversion niveauer, θj er s˚aledes rimelige i alle 3 modeller. 


I den estimerede 1-faktor CIR-model er alle parameterestimaterne signifikante, 

jf. tabel 6. Vi ser ogs˚a, at mean-reversion hastigheden κ er større end i den 

1-faktor Gaussiske model - dog skal denne sammenligning tages med et gran 

salt, da mean-reversion niveauet i CIR-modellen er θ, hvor det i den Gaussiske 

model pr. definition er 0. 

Selve mean-reversion niveauet, θ svarer til en rente p˚a 6.4 %, hvilket virker en 

smule højt, da dette ifølge parametriseringen af modellen svarer til langsigtsniveaut 

for spot-renten. Dette skyldes, som i de Gaussiske modeller, at da 

vi har en større mængde af observationer omkring 2-10 ˚ar, opn˚ar vi højere 

likelihood værdier ved at fitte disse rentesatser bedst muligt. 

Ydermere bemærker vi, at riskopræmien er negativ. Dette er som forventet jf. 

afsnit 2.3. M˚alefejls-estimatet σe er lig 0.005, hvilket svarer til, at standard 

afvigelsen for m˚alefejlen svarer til ca. 50 bp. Dette er naturligvis ganske 

højt og en indikation af, at en 1-faktor model ikke er i stand til at fitte 

rentestrukturen tilstrækkeligt. 

I tabel 18 ser vi en række misspecifikationstests. For syv ud af ti løbetider 

forkastes hypotesen omkring, at residualerne har middelværdi nul, og tilsvarende 

forkastes hypotesen omkring ingen autokorrelation i residualerne for alle 

løbetider. Dette er s˚aledes ogs˚a en indikation af, at modellen ikke er i stand 

til at fange variationen i datasættet. Dette stemmer ogs˚a overens med den 

gennemførte principal komponent analyse, der fastsl˚ar, at den første faktor i 

modellen udelukkende beskriver niveauet, men ikke fanger fx skift i spreadet. 

44

κ 0.015329 

(0.000053) 

θ 0.064369 

(0.000192) 

σ 0.070276 

(0.000005) 

λ -0.087335 

(0.000046) 

σe 0.005022 

(0.000000) 

Tabel 6: Estimerede parametre i 1-faktor CIR-modellen. 


I tabel 7 er estimationsresultaterne i 2-faktor CIR-modellen vist. De parametre, 

der beskriver mean-reversion hastigheden, er henholdsvis κ1 = 0.009 og 

κ2 = 0.17. Dette indikerer, at parameteren med langsom mean-reversion 

hastighed beskriver det generelle niveau, hvor parameteren med høj meanreversion 

hastighed nærmere beskriver stød eller spreadet, da denne konverger 

hurtigere til langsigts niveauet for parameteren θ2. 

Effekten af de enkelte faktorer p˚a rentekurven (factor loadings) findes som 

∂y(t, T, x) 

∂xi 

= Bi(t, T) 

T − t 

I modsætning til de Gaussiske modeller, hvor de enkelte xi’er korrelerede, har 

vi i CIR-modellen, at de enkelte faktorer er indbyrdes ukorrelerede. Derfor er 

vores factor loadings findes som de enkelte B-funktioner, jf. ligningen ovenfor. 

Figur 7 viser s˚aledes de enkelte factor loading i 2-faktor CIR-modellen. Herved 

f˚ar vi bekræftet, at faktor 1 har en generel effekt p˚a rentestrukturen, hvorimod 

faktor 2 har større effekt p˚a kortere løbetider, og dermed beskriver 

udviklingen i spreadet. 

Det samme billede f˚as ved at se p˚a korrelationen mellem de enkelte faktorer 

og renter / spreads. Faktor 1 har s˚aledes en korrelation p˚a ca. 0.98 med 

den 15 ˚arige rente. For faktor 2 er der en korrelation p˚a -0.95 med spreadet 

mellem de 3 mdr. og 15 ˚arige rentesatser. Dette er vist i figur 8, hvor udviklingen 

i renter og spread over tid er holdt op mod udviklingen i de enkelte 

faktorer. Kvalitativt er faktorerne meget lig b˚ade den tilsvarende Gaussiske 

model og de to første faktorer fra principal komponent analysen. Ud fra de 

filtrede værdier at faktor 1, fremg˚ar det, at nogle er eksakt 0. Dette skyldes 

45


0.0 0.5 1.0 1.5 

i = 1 i = 2 

κi 0.008791 0.173700 

(0.002007) (0.000169) 

θi 0.017757 0.068879 

(0.004017) (0.000067) 

σi 0.055193 0.054447 

(0.000002) (0.000024) 

λi -0.070056 0.122182 

(0.001984) (0.000257) 

σe 0.001903 

(0.000000) 


Faktor 1 

Faktor 2 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

Figur 7: Factor loadings i 2-faktor CIR-modellen 

46

at restriktionen om positive faktorer har været aktiv. Som nævnt i afsnit 3.3 

betyder dette, at Kalman filteret ikke længere er quasi optimalt i en lineær 

projektions forstand. 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 


Faktor 1 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

−0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04 


Faktor 2 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

Figur 8: Faktor 1 plottet mod 15˚ars renten samt faktor 2 plottet mod spreadet 

mellem 3 mdr. og 15 ˚ars renterne. Bemærk at faktor 2 er plottet med 

negativt fortegn. 

Misspecifikationstestene viser, at residualerne for 5 ud af 10 løbetider f˚ar 

godkendt hypotesen om at have middelværdi 0 testet p˚a et 5 %’s niveau. Der 

er stadig meget signifikante autokorrelationer i residualerne for alle løbetider, 

men de er mindre signifikante end for 1-faktor modellen. Selvom testene er 

forbedret i forhold til 1-faktor modellen, er det heller ikke rimeligt her at tale 

om en velspecificeret model for rentestrukturen. 


I tabel 8 ses parameterestimaterne i 3-faktor CIR-modellen. Alle parameterestimater 

er signifikante p˚a et 5 % niveau. De enkelte parametre, der bestemmer 

mean-reversion hastigheden κi, ligger s˚aledes at κ2 > κ1 > κ3. Umiddelbart 

skulle man tro, at faktor 3 p˚avirker jævnt over hele rentestrukturen. 

Dette er imidlertid ikke tilfældet, da B-funktionerne i CIR-modellen ikke 

udelukkende afhænger af κi, men ogs˚a af σi. 

Ud fra factor loadings i figur 9 ser vi, at faktor 1 beskriver det generelle 

niveau for rentestrukturen. Tilsvarende den Gaussiske model og principal 

komponent analysen, kan de resterende to faktorer s˚aledes beskrive hældning 

og krumning p˚a rentekurven. 

Vi finder ydermere at faktor 1 har en korrelation p˚a 0.98 med 15 ˚ars renten. 

Dette bekræfter, at faktor 1 beskriver det generelle renteniveau. Derudover 

47


0.0 0.5 1.0 1.5 

i = 1 i = 2 i = 3 

κi 0.178213 0.465267 0.062159 

(0.000503) (0.116873) (0.003573) 

θi 0.000102 0.020155 0.098432 

(0.000026) (0.001779) (0.003555) 

σi 0.050835 0.102652 0.360405 

(0.000225) (0.018324) (0.008929) 

λi -0.249180 0.451027 -0.187364 

(0.000641) (0.049605) (0.022534) 

σe 0.001189 

(0.000010) 


Faktor 1 

Faktor 2 

Faktor 3 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

Figur 9: Factor loadings i 3-faktor CIR-modellen 

48

har summen af faktor 2 og 3 en korrelation p˚a -0.92 med spreadet. Denne 

tendens genfindes i figur 10, hvor faktor 1 er plottet mod den faktiske 15 

˚arige rente. Tilsvarende i samme figur er summen af faktor 2 og 3 plottet 

mod spreadet mellem 3 mdr. og 15˚ars renten. Faktor 2 og faktor 3 har begge 

filtrerede værdier eksakt lig 0. Det betyder, ligesom i den forrige model, at 

vores restriktion p˚a faktorerne i CIR-modellerne har været aktiv. Filteret er 

derfor heller ikke her quasi optimalt i en lineær projektions forstand. 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 


Faktor 1 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

−0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04 


Sum af faktor 2 og 3 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

Figur 10: Faktor 1 plottet mod 15 ˚ars renten samt faktor 2 plottet mod 

spreadet mellem 3 mdr. og 15 ˚ars renterne. Bemærk at faktor 2 og 3 er 

plottet med negativt fortegn. 

Korrelationen med spreadet i 3-faktor modellen er lavere end i 2-faktor tilfældet. 

Det er det modsatte af hvad vi fandt i en 3-faktor Gaussisk model, 

hvor summen af faktorerne næsten var perfekt korreleret med spreadet. Geyer 

& Pichler (1998) har tilsvarende resultater for modeller med flere end 3 

faktorer. 

Vi genfinder det samme billede som tidligere, ved at betragte misspecifikationstests 

for modellen i tabel 20. Hypotesen om at residualerne har middelværdi 

nul forkastes for 8 ud af 10 løbetider, hvorimod at 2-faktor modellen 

kun forkaster hypotesen for 5 ud af 10 løbetider. Residualerne udviser 

autokorrelation for alle løbetider p˚anær en. Generelt er autokorrelationerne 

mere signifikante i 3-faktor modellen end i 2-faktor tilfældet. Dette fremhæver 

s˚aledes problemet beskrevet ovenfor og i Geyer & Pichler (1998). 

49

8 Konklusion 

Vi har i denne opgave gennemg˚aet og udledt generelle multifaktor affine 

modeller for rentestrukturen. Herunder har vi specifikt udledt egenskaber for 

multifaktor CIR- og Gaussiske modeller. Det vedrører b˚ade fordelingsegenskaber 

og arbitragefri prisfastsættelse af nulkuponobligationer. For at kunne estimere 

parametrene i disse to modeltyper har vi udledt og anvendt et Kalman 

filter. Denne metode tillader, at vi kan inddrage observationer fra rentestrukturen 

b˚ade over tid og p˚a tværs af løbetider. Vi har implementeret Kalman 

filter algoritmen og estimeret 1-3 faktor modeller b˚ade for en Gaussisk specifikation 

af rentestrukturen og for en CIR-model. 

P˚a baggrund af danske swapdata for perioden 1996 til 2006 fandt vi b˚ade via 

en principal komponent analyse og de affine rentemodeller 3 hovedfaktorer, 

der tilsammen beskriver udviklingen i rentestrukturen. Vi finder, som hos 

Litterman & Scheinkman (1991), at faktoren med størst forklaringsgrad p˚a 

tværs af modellerne beskriver ændringer i det generelle renteniveau. De øvrige 

faktorer betemmer hældning og krumning p˚a rentekurven, fx beskrevet ved 

spreadet mellem korte og lange renter. 

Misspecifikationstests for alle de affine modeller viser, at ingen af modellerne 

er velspecificeret. Det betyder, at man enten skal anvende flere faktorer, 

hvilket ikke virker rimeligt p˚a baggrund af principal komponenet analysen, 

eller at man skal bruge andre modeller end Gaussiske eller CIR-modeller. I 

de Gaussiske modeller finder vi, at modellerne passer bedre til de faktiske 

observationer, n˚ar vi øger antallet af faktorer. Der er ikke samme klare tendens 

i CIR-modellerne. Dette kan skyldes, at filtreringen i vores tilfælde ikke 

bliver quasi optimal i en lineær projektions forstand. Forskellen mellem den 

Gaussiske model og den tilsvarende CIR-model skal ogs˚a holdes op mod, at 

der ikke er lige mange parametre i de 2 modeller. 

Den model, der tilpasser rentestrukturen bedst hos os, er en 3-faktor Gaussisk 

model, hvilket ogs˚a er modellen med flest parametre. P˚a trods af positiv 

sandsynlighed for negative renter i denne model, f˚ar vi et betydeligt bedre 

fit end i den tilsvarende 3-faktor CIR-model. Det samme gælder ogs˚a for 2faktor 

modellerne. Dertil kommer ogs˚a, at den Gaussiske model har klaret 

sig bedst i misspecifikationstestene. 

50

Litteratur 

[1] Anderson, T.W. (2003): An Introduction to Multivariate Statistical 

Analysis. Wiley Interscience 

[2] Babbs, S.H. & Nowman, B.K. (1999): Kalman Filtering of Generalized 

Vasicek Term Structure Models. The Journal of Financial and Quantitative 

Analysis 34 (1): 115-130 

[3] Björk, T. (2004): Arbitrage Theory in Continous Time. Oxford University 

Press 

[4] Bollerslev, T. & Woolridge, J.M. (1992): Quasi-Maximum Likelihood 

Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varing Covariances. 

Econometric Reviews 11: 143-172 

[5] Chen, R.R. & Scott, L. (1995): Maximum Likelihood Estimation for a 

Multifactor Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates. 

Journal of Fixed Income 3, Dec.: 14-31 

[6] Cox, J. C., J. E. Ingersoll & S. A. Ross (1985b): A Theory of the Term 

Structure of Interest Rates. Econometrica 53 (2): 385-408 

[7] Dai, Q. & Singleton, K.J. (2000): Specification Analysis of Affine Term 

Structure Models. The Journal of Finance 5: 1943-1978 

[8] de Jong, F. (2000): Time Series and Cross-section Information in Affine 

Term Structure Models. Journal of Business & Economic Statistics 18 

(3): 300-314 

[9] Duan, J.C. & Simonato, J.G. (1995): Estimating and Testing 

Exponential-Affine Term Structure Models by Kalman Filter Methods. 

Scientific Series, Centre Interuniversitaire de Recherche en Analyse des 

Organisations (CIRANO) 

[10] Duffie, D. & R. Kan (1996): A Yield-Factor Model of Interest Rates. 

Mathematical Finance 6(4), 379-406. 

[11] Hamilton, J.D. (1994): Time Series Analysis. Princeton University Press 

[12] Harvey, A. C. (1990): Forecasting, structural time series models and the 

Kalman Filter. Cambridge University Press 

[13] Litterman, R. & Scheinkman, J. (1991): Common Factors Affecting 

Bond Returns. The Journal of Fixed Income: 54-61 

51

[14] Lund, J. (1997a): Econometric Analysis of Continuous-Time Arbitrage- 

Free Models of the Term-Structure of Interest Rates. Working paper, 

Aarhus School of Business. 

[15] Lund, J. (1997b): Non-Linear Kalman Filtering Techniques for Term- 

Structure Models. Working paper, Aarhus School of Business. 

[16] Kalman, R.E. (1960): A New Approach to Linear Filtering and Prediction 

Problems. Journal of Basic Engineering, Transactions of the 

ASME: 35-45 

[17] Munk, C. (2005): Fixed Income Analysis. Lecture notes used in an advanced 

master’s course. University of Southern Denmark. 

[18] Poulsen, R. (2006): Slides from Continous Time Finance 2. University 

of Copenhagen. 

[19] Shumway, R.H. & Stoffer, D.S. (2000): Time Series and its Applications. 

Springer-Verlag 

[20] Shumway, R.H. & Stoffer, D.S. (1982): An Approach to Time Series 

Smoothing and Forecasting Using the EM Algorithm. Journal of Time 

Series Analysis 3: 253-264 

[21] Svensson, L.E.O. (1995): Estimating Forward Interest Rates with the 

Extended Nelson & Siegel Method. Sveriges Riksbank Quarterly Review 

3: 13-26 

52

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 

Faktisk 1 mdr. rente 

Fit 1−faktor Gaussisk 

Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

−0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

Figur 11: Faktiske rentesatser, fittede rentesatser og residualer for den 1 

faktor Gaussiske model. Løbetider fra 1 mdr. til 2 ˚ar. 

53

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 


faktor Gaussiske model. Løbetider fra 3 til 30 ˚ar. 

54

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



55

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



56

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



57

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



58

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 


Fit 1−faktor CIR 

Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

Figur 17: Faktiske rentesatser, fittede rentesatser og residualer for 1 faktor 

CIR-modellen. Løbetider fra 1 mdr. til 2 ˚ar. 

59

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 


CIR-modellen. Løbetider fra 3 til 30 ˚ar. 

60

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



61

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



62

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



63

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 

0.00 0.02 0.04 0.06 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Residual 

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



64

Parameter 1-faktor Eksakt 

κ1 0.400002 0.40 

(0.002029) 

σ1 0.019967 0.02 

(0.000884) 

λ1 -0.50001 -0.50 

(0.000077) 

δ0 0.05997 0.06 

(0.001195) 

σe 0.010052 0.01 

(0.000105) 

Tabel 9: Estimater af parametre i 1-faktor Gaussisk model vha. Monte Carlo 

simulationer, hvor standardafvigelserne er skrevet i parenteser. 


κ1 0.399886 0.40 

(0.002502) 

κ2 0.200067 0.20 

(0.000964) 

σ1 0.019914 0.02 

(0.001062) 

σ2 0.009879 0.01 

(0.001436) 

λ1 -0.499991 -0.50 

(0.000204) 

λ2 0.100005 0.10 

(0.000147) 

ρ -0.499987 -0.50 

(0.000359) 

δ0 0.059982 0.06 

(0.001278) 

σe 0.010036 0.01 

(0.000107) 



65


κ1 0.399646 0.40 

(0.00186) 

κ2 0.300073 0.30 

(0.00088) 

κ3 0.200604 0.20 

(0.001596) 

σ1 0.029655 0.03 

(0.004658) 

σ2 0.019205 0.02 

(0.004021) 

σ3 0.008564 0.01 

(0.00494) 

λ1 -0.500037 -0.50 

(0.000482) 

λ2 -0.100051 -0.10 

(0.000458) 

λ3 -0.000049 0.00 

(0.00039) 

ρ12 -0.500034 -0.50 

(0.000393) 

ρ13 -0.300018 -0.30 

(0.000204) 

ρ23 0.399983 0.40 

(0.000112) 

δ0 0.059314 0.06 

(0.006409) 

σe 0.009982 0.01 

(0.000899) 



66


κ 0,299984 0.30 

(0.000063) 

θ 0.060068 0.06 

(0.000094) 

σ 0.050041 0.05 

(0.000053) 

λ -0.500028 -0.50 

(0.000071) 

σe 0.010032 0.01 

(0.000083) 

Tabel 12: Estimater af parametre i 1-faktor CIR-model vha. Monte Carlo 



κ1 0.100847 0.10 

(0.006792) 

κ2 0.521598 0.50 

(0.10015) 

θ1 0.020011 0.02 

(0.000927) 

θ2 0.079326 0.08 

(0.010508) 

σ1 0.080119 0.08 

(0.001463) 

σ2 0.099629 0.10 

(0.013451) 

λ1 -0.500030 -0.50 

(0.010124) 

λ2 0.293294 0.30 

(0.081582) 

σe 0.019964 0.02 

(0.000208) 



67


κ1 0.147149 0.1500 

(0.032199) 

κ2 0.421535 0.4500 

(0.063994) 

κ3 0.058114 0.0500 

(0.031302) 

θ1 0.001664 0.0010 

(0.002268) 

θ2 0.007266 0.0200 

(0.008611) 

θ3 0.013692 0.0100 

(0.015674) 

σ1 0.056708 0.0500 

(0.013474) 

σ2 0.132446 0.1000 

(0.035494) 

σ3 0.338997 0.3500 

(0.03741) 

λ1 -0.251081 -0.2500 

(0.030851) 

λ2 0.466140 0.4500 

(0.046761) 

λ3 -0.191536 -0.2000 

(0.038004) 

σe 0.014645 0.0015 

(0.042257) 



68

Løbetid Middelværdi t-test Ljung-Box test 

1 mdr. -0.000930 ⋆ -3.382690 ⋆ 492.294681 

(0.006294) 

3 mdr. -0.000829 ⋆ -3.237650 ⋆ 500.448225 

(0.005862) 

1 ˚ar -0.000593 ⋆ -2.840620 ⋆ 490.089915 

(0.004776) 

2 ˚ar 0.000216 1.426911 ⋆ 449.675299 

(0.003467) 

3 ˚ar 0.000835 ⋆ 7.812321 ⋆ 381.350731 

(0.002446) 

5 ˚ar 0.001223 ⋆ 12.956536 ⋆ 353.644296 

(0.002161) 

7 ˚ar 0.001037 ⋆ 7.736513 ⋆ 437.310253 

(0.003069) 

10 ˚ar 0.000134 0.714660 ⋆ 477.812491 

(0.004306) 

15 ˚ar -0.001761 ⋆ -7.216718 ⋆ 481.386289 

(0.005585) 

30 ˚ar -0.000109 -0.332733 ⋆ 401.653464 

(0.007505) 

l( ˆ Θ) 25,268 

Tabel 15: Residualer i den 1-faktor Gaussiske modellen, samt test for hvid 

støj i form af t-test for middelværdi 0 og Ljung-Box-test for autokorrelation. 

⋆ markerer forkastelse af hypotesen om hvid støj p˚a 5 % niveau. 

69


1 mdr. 0.000556 ⋆ 5.777357 ⋆ 302.008216 

(0.002202) 

3 mdr. 0.000354 ⋆ 5.530005 ⋆ 235.564000 

(0.001465) 

1 ˚ar -0.000337 ⋆ -4.155705 ⋆ 350.019007 

(0.001855) 

2 ˚ar -0.000386 ⋆ -3.988570 ⋆ 374.339013 

(0.002216) 

3 ˚ar -0.000306 ⋆ -3.225656 ⋆ 359.197704 

(0.002175) 

5 ˚ar -0.000309 ⋆ -3.793860 ⋆ 297.621955 

(0.001865) 

7 ˚ar -0.000295 ⋆ -4.214581 ⋆ 223.967792 

(0.001603) 

10 ˚ar -0.000337 ⋆ -5.288109 ⋆ 146.904578 

(0.001458) 

15 ˚ar -0.000488 ⋆ -6.579626 ⋆ 86.325926 

(0.001697) 

30 ˚ar 0.000808 ⋆ 5.328834 ⋆ 53.507484 

(0.00347) 

l( ˆ Θ) 30,225 

Tabel 16: Residualer i den 2-faktor Gaussiske model, samt test for hvid støj 

i form af t-test for middelværdi 0 og Ljung-Box-test for autokorrelation. ⋆ 

markerer forkastelse af hypotesen om hvid støj p˚a 5 % niveau. 

70


1 mdr. 0.000044 0.769139 ⋆ 18.342292 

(0.001296) 

3 mdr. 0.000001 0.026444 ⋆ 48.432568 

(0.001086) 

1 ˚ar -0.000134 ⋆ -2.079520 ⋆ 233.184864 

(0.00148) 

2 ˚ar -0.000005 -0.084178 ⋆ 118.603612 

(0.001314) 

3 ˚ar 0.000020 0.384758 ⋆ 60.145278 

(0.001207) 

5 ˚ar -0.000127 ⋆ -2.380642 ⋆ 55.640438 

(0.001218) 

7 ˚ar -0.000145 ⋆ -2.474685 ⋆ 98.311843 

(0.001342) 

10 ˚ar -0.000103 -1.643493 ⋆ 105.627123 

(0.00144) 

15 ˚ar -0.000151 ⋆ -2.283820 ⋆ 10.124969 

(0.001512) 

30 ˚ar -0.000115 -0.867153 0.530093 

(0.003048) 

l( ˆ Θ) 32,527 

Tabel 17: Residualer i den 3-faktor Gaussiske model, samt test for hvid støj 

i form af t-test for middelværdi 0 og Ljung-Box-test for autokorrelation. ⋆ 

markerer forkastelse af hypotesen om hvid støj p˚a 5 % niveau. 

71


1 mdr. -0.001489 ⋆ -5.302153 ⋆ 496.406270 

(0.006428) 

3 mdr. -0.001376 ⋆ -5.201094 ⋆ 504.961473 

(0.006055) 

1 ˚ar -0.000849 ⋆ -3.815120 ⋆ 497.730023 

(0.005096) 

2 ˚ar 0.000277 1.678922 ⋆ 465.384002 

(0.003781) 

3 ˚ar 0.001115 ⋆ 9.532730 ⋆ 407.224867 

(0.002676) 

5 ˚ar 0.001691 ⋆ 19.687420 ⋆ 321.167866 

(0.001966) 

7 ˚ar 0.001447 ⋆ 12.397804 ⋆ 408.716587 

(0.002672) 

10 ˚ar 0.000246 1.437397 ⋆ 466.671013 

(0.003923) 

15 ˚ar -0.001980 ⋆ -8.583557 ⋆ 474.362960 

(0.005279) 

30 ˚ar -0.000201 -0.644232 ⋆ 389.744095 

(0.007142) 

l( ˆ Θ) 25,293 

Tabel 18: Residualer i 1-faktor CIR-modellen, samt test for hvid støj i form 

af t-test for middelværdi 0 og Ljung-Box-test for autokorrelation. ⋆ markerer 

forkastelse af hypotesen om hvid støj p˚a 5 % niveau. 

72


1 mdr. 0.000029 0.279531 ⋆ 305.668861 

(0.002362) 

3 mdr. -0.000142 ⋆ -2.035234 ⋆ 235.338220 

(0.001602) 

1 ˚ar -0.000696 ⋆ -8.734778 ⋆ 312.035358 

(0.001823) 

2 ˚ar -0.000568 ⋆ -5.930122 ⋆ 350.574270 

(0.002194) 

3 ˚ar -0.000327 ⋆ -3.415718 ⋆ 346.770885 

(0.002192) 

5 ˚ar -0.000073 -0.848113 ⋆ 311.107160 

(0.001966) 

7 ˚ar 0.000093 1.259372 ⋆ 251.377058 

(0.001699) 

10 ˚ar 0.000094 1.446145 ⋆ 162.868262 

(0.001481) 

15 ˚ar -0.000312 ⋆ -3.906268 ⋆ 133.486395 

(0.001831) 

30 ˚ar -0.000102 -0.679093 ⋆ 58.083133 

(0.003435) 

l( ˆ Θ) 30,108 




73


1 mdr. -0.000273 ⋆ -4.495091 ⋆ 13.805957 

(0.001389) 

3 mdr. -0.000244 ⋆ -4.862220 ⋆ 22.729960 

(0.001151) 

1 ˚ar -0.000323 ⋆ -4.225440 ⋆ 266.815145 

(0.00175) 

2 ˚ar -0.000203 ⋆ -3.004140 ⋆ 171.850141 

(0.001548) 

3 ˚ar -0.000219 ⋆ -3.729222 ⋆ 90.235477 

(0.001347) 

5 ˚ar -0.000369 ⋆ -6.390153 ⋆ 83.059702 

(0.001322) 

7 ˚ar -0.000265 ⋆ -4.212479 ⋆ 128.240363 

(0.00144) 

10 ˚ar -0.000088 -1.329815 ⋆ 113.262996 

(0.001506) 

15 ˚ar -0.000230 ⋆ -3.240910 ⋆ 8.924104 

(0.001625) 

30 ˚ar 0.000136 1.012585 1.186480 

(0.003064) 

l( ˆ Θ) 31,707 




74

Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?