Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

hvor κ, θ og σ er positive konstanter 6 . Ved en simpel reparametrisering kan
(20) ogs˚a formuleres
drt = (φ − κrt)dt + σ √ rtdzt
(21)
hvor φ = κθ er en positiv konstant. I det analoge n-dimensionale tilfælde
siges en model at være en n-dimensional CIR-model, hvis den korte rente
kan skrives som summen af tilstandsvariablene, dvs. rt = n j=1 xjt, og tilstandsvariablene
er uafhængige, hvor den enkelte tilstandsvariabel følger samme
proces som i det én-dimensionale tilfælde. Dermed er dynamikken for x givet
ved
√
dxjt = (φj − κjxjt) dt + σj xjtdzjt, j = 1, . . ., n
hvor κj, φj og σj er positive konstanter. Bemærk at modellen er affin idet vi
ved sammenligning med (8) har
(i) δ = 1
(ii) αj + β ⊤
j xt = xjt
(iii) Γ er diagonal med elementer σ 2 j
(iv) δ0 = 0
og ergo følger fordelingsegenskaberne af hhv. (12) og (13). Da κ er diagonal
er middelværdien veldefineret og givet ved
E [xT |Ft] = exp −κ (T − t) xt + I − exp −κ (T − t) κ −1 ⎛
e
⎜
= ⎝
ϕ
−κ1(T −t)
x1t + 1 − e−κ1(T −t) φ1
κ1
.
e−κn(T −t) xnt + 1 − e−κn(T −t) ⎞
⎟
⎠
φn
κn
Da tilstandsvariablene er uafhængige i modellen, bliver kovarians-matricen
diagonal og er givet ved
Cov [xT |Ft] =
T
exp −κ (T − s) ΓE σ
t
2 (xs)
Ft Γ ⊤
exp −κ ⊤
(T − s) ds
=
⎛
v1
⎜
⎝ .
. . .
. ..
⎞
0
⎟
. ⎠
0 . . . vn
6 I modsætning til den Gaussiske model er CIR-modellen ikke maksimal, idet κ ikke
behøver at være diagonal for at modellen kan identificeres, jf. Dai og Singleton (2000).
15