Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

Da forecastene alts˚a blot er linearkombinationer af den observerede vektorproces,
bliver ogs˚a innovationerne normalfordelte, som vi har set tidligere.
Dette gør det nemt at opstille en likehoodfunktion baseret p˚a disse. Dette
kaldes prediction error decomposition eller innovations form of the likelihood
function. Idet vi lader Θ betegne vektoren af de ukendte parametre, vi vil
drage inferens omkring, bliver loglikelihoodfunktionen (p˚anær et konstantled)
l(Θ FtN ) =
N
i=1
li(Θ Fti ) = −
N
ln F tj (Θ)
+ vti (Θ)⊤F tj (Θ)−1vti (Θ)
i=1
Størrelserne i likelihoodfunktionen bliver beregnet, idet man gennemløber
Kalman rekursionerne fra tid t1 til tN. Herefter kan vi bruge almindelig maksimum
likelihood estimation til at finde Θ
ˆΘ = arg max Θl(Θ FtN )
Vi bruger en quasi-Newton metode til at maksimere likelihoodfunktionen
numerisk. Alternativt kan man udregne eksakte afledte af likelihoodfunktionen
og benytte en almindelig Newton-Raphson metode. Desuden findes
forskellige andre metoder til at gøre de rekursive beregninger af likelihooden
hurtigere (se Harvey (1990)). Specielt er determinanten og den inverse af F tj
tidskrævende. Shumway og Stoffer (1982, 2000) foresl˚ar alternativt en ’manglede
data’-tilgang, hvor man maksimerer likelihoodfunktionen ved hjælp af
en EM-algoritme.
3.2 Kalman filtrering af multifaktor Gaussisk model
Den diskrete tidsdynamik for en multifaktor Gaussisk model, der udgør vores
underliggende vektorproces i state-space formuleringen, følger af afsnit 2.4.
Herved f˚ar vi, at diskrettidsfordelingen er en VAR(1) proces med normalfordelte
fejlled og dermed bliver overgangsligningen (25) i state-space formuleringen
til
hvor
Xtj
= D Xtj−1 + ωtj
⎛
exp [−κ1∆t] . . .
⎜
D = ⎝
.
. ..
0
.
⎞
⎟
⎠
0 . . . exp [−κn∆t]
25