Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

Imidlertid kan vi udnytte relationen rt = n j=1 xjt og uafhængighed mellem
tilstandsvariablene, hvormed (22) kan formuleres
P(xt, t, T) = E Q
n
T
exp − xjudu Ft
= E Q
n
exp
=
j=1
n
E Q
j=1
exp
j=1 t
T
−
−
t
T
t
xjudu Ft
xjudu Ft
Da modellen er affin og tilstandsvariablene uafhængige, gælder der
E Q
T
exp − xjudu Ft = exp {Aj(t, T) − Bj(t, T)xjt}
t
(23)
og da alle tilstandsvariable endvidere følger en proces af samme type, skal
Aj(t, T) og Bj(t, T) tilfredsstille det ordinære differentialligningssystem
∂Bj(t, T)
∂t
∂Aj(t, T)
∂t
= 1
2 σ2 j Bj(t, T) + ˆκjBj(t, T) − 1
= φjBj(t, T)
for j = 1, . . .,n. Givet initialbetingelserne Aj(T, T) = Bj(T, T) = 0 bliver
løsningen til systemet
2
Bj(t, T) =
eγj(τ)
− 1
(γj + ˆκj)(e γj(τ) − 1) + 2γj
Aj(t, T) = 2φj
ln(2γj) +
σj
1
2 (ˆκj + γj) (τ) − ln (γj + ˆκj)(e γj(τ)
− 1) + 2γj
hvor γj = ˆκ 2 j + 2σ2 j . Dermed bliver prisen p˚a en NKO i modellen iflg. (23)
P(xt, t, T) =
n
exp (Aj(t, T) − Bj(t, T)xjt) (24)
j=1
s˚aledes at rentestrukturen i modellen bliver
n ln P(t, T) j=1
y(t, T) = − = −
T − t (Aj(t, T) − Bj(t, T)xjt)
T − t
17