Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

passende benytte den ubetingede middelværdi og kovarians. N˚ar vi s˚aledes
har kendte startværdier er fordelingen af Xtj|ti igen en flerdimensional normalfordeling.
Forecastet af den underliggende proces findes som
Xtj|tj−1 = E Xtj |Ftj−1
= E C + DXtj−1 + ωtj
= E C + DXtj−1
Ftj−1 + E
ωtj
Ftj−1
= C + E DXtj−1
Ftj−1 = C + DXtj−1|tj−1
Ftj−1
og kovariansen p˚a denne
Xtj
⊤
P tj|tj−1 = E − Xtj|tj−1
Xtj − Xtj|tj−1
⊤
= E C + DXtj−1 + ωtj − Xtj|tj−1 C + DXtj−1 + ωtj − Xtj|tj−1
= E D
Xtj−1 − Xtj−1|tj−1 + ωtj D
⊤
Xtj−1 − Xtj−1|tj−1 + ωtj
Xtj−1
⊤
= DE − Xtj−1|tj−1
Xtj−1 − Xtj−1|tj−1 D ⊤
+ E
= D P tj−1|tj−1 D⊤ + V
ωtj ω⊤ tj
hvor vi i fjerde lighedstegn har brugt, at ωtj er uafhængig af fortiden. Forecastene
er alts˚a rekursivt bestemt af de filtrerede værdier. For at finde de
filtrerede værdier definerer vi innovationen som
vtj = Y tj − E
Y
tj
Ftj−1 = Y tj − E A + BXtj + ǫtj
Ftj−1
= Y tj − A − B E
Xtj + ǫtj
Ftj−1 = Y tj − A − BXtj|tj−1
Innovationen er igen flerdimensionalt normalfordelt med dimension m og
middelværdi
E
vtj = E Y tj − E
Y
tj
Ftj−1 = E Y tj − E E Y
tj
Ftj−1 = 0
og kovariansmatrix givet som
⊤
F tj = E Y tj − A − B Xtj|tj−1 Y tj − A − B Xtj|tj−1
⊤
= E A + B Xtj + ǫtj − A − B Xtj|tj−1 A + B Xtj + ǫtj − A − B Xtj|tj−1
Xtj
⊤
= BE − Xtj|tj−1
Xtj − Xtj|tj−1 B ⊤
+ E
= B P tj|tj−1 B⊤ + H
21
ǫtj ǫ⊤ tj