Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

1 Indledning
Udviklingen i nulkuponrentestrukturen er et centralt element i risikostyring
og prisfastsættelse af finansielle aktiver. Specielt for derivater, der direkte
er afhængige af den stokastiske udvikling i de fremtidige renter, er det
nødvendigt at opstille og estimere modeller for rentestrukturens udvikling
over tid. De metoder vi vil bruge i denne opgave, bliver i udstrakt omfang
anvendt i praksis af den finansielle sektor. Det kan fx være med henblik p˚a
at styre statens gældsporteføjle (se Danmarks Nationalbank (2006)).
I denne opgave betragter vi modeller for rentestrukturen hørende indenfor
den affine klasse introduceret af Duffie & Kan (1996). Denne klasse
er interessant, fordi den har specielt pæne egenskaber mht. fordelinger og
løsningsformer for nulkuponobligationer etc. Specifikt vil vi anvende Gaussiske
(Langetieg (1980)) og CIR-multifaktor modeller (Cox et. al (1985)). I
denne typer modeller er renteudviklingen drevet af en række underliggende
faktorer, hvis udvikling er beskrevet ved en stokastisk differentialligning.
Modellerne passer godt ind i et state-space setup, da vi har observerbare
nulkuponrenter, uobserverbare underliggende faktorer og samtidig kan faktorernes
fordeling relativt let diskretiseres. I forhold til den teoretiske model
antager vi her, at nulkuponrenter observeres med støj som følge af fx
inkomplette markeder, bid-ask spreads og asynkron notering af priser. N˚ar
vi s˚aledes har modellerne p˚a state-space form, kan vi anvende Kalman filter
metoden til at drage inferens om de ukendte parametre og s˚aledes ogs˚a estimere
de uobserverbare faktorer. Denne fremgangsm˚ade bliver blandt andet
brugt i Lund (1997a, 1997b), de Jong (2000), Babbs & Nowman (1999) og
Geyer & Pichler (1998) med flere. Fordelen ved Kalman filter metoden er, at
den b˚ade tillader inddragelse af renteobservationer over tid og p˚a tværs af
løbetider. Herved undg˚ar vi ogs˚a at lave en proxy for den i praksis tvivlsomme
spot-rente.
Opgaven er struktureret som følger: I afsnit 2 udleder vi den generelle affine
rentestrukturmodel. Desuden udleder vi fordelingsegenskaber og arbitragefri
prisfastsættelse af nulkuponobligationer for multifaktor Gaussiske og CIRmodeller.
I afsnit 3 beskriver vi state-space repræsentationen af de affine
rentemodeller og udleder et Kalman filter til estimation af modellerne. Vi
foretager ogs˚a et mindre Monte Carlo studie af vores Kalman filter. Afsnit
4 og 5 beskriver data og foretager en simpel principal komponent analyse af
rentestrukturens udvikling. I afsnit 6 og 7 beskriver vi estimations resultaterne
i de affine rentemodeller. Endelig konkluderes der i afsnit 8.
3