Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

hvilket giver
C = −P tj|tj−1 B⊤ F −1
tj
Vi har i andet lighedstegn ovenfor benyttet, at forventningen til innovationen
betinget med filtreringen til tid tj−1 er 0. Forventningen til vores linearkombination
af de to delvektorer findes som
E U 1
Ftj−1 = E Xtj + C vtj
Ftj−1 = Xtj|tj−1
og kovariansmatricen for U 1
U 1 1
E − E U U 1 − E U 1
⊤
Ftj−1
⊤
= E Xtj + C vtj − E Xtj + C vtj
Xtj + C vtj − E Xtj + C vtj
Ftj−1
Xtj = E − E
Xtj
Xtj − E ⊤
Xtj + C vtj − E
vtj
vtj − E ⊤ ⊤
vtj C
+ Xtj − E
Xtj
vtj − E ⊤ ⊤
vtj C + C vtj − E
vtj
Xtj − E
⊤
Xtj
= P tj|tj−1 + C F tjC⊤ + P tj|tj−1B⊤C ⊤ + C B P tj|tj−1
= P tj|tj−1 + P tj|tj−1B⊤F −1
tj F
tj P tj|tj−1B⊤ F −1
⊤ tj
−P tj|tj−1 B⊤ F −1
tj B P tj|tj−1 − P tj|tj−1 B⊤
= P tj|tj−1 − P tj|tj−1B⊤ F −1
tj B P tj|tj−1 ≡ Σ
⊤
P tj|tj−1 B⊤ F −1
tj
hvor vi i sidste lighedstegn har brugt, at F −1
tj = F ⊤ −1 tj = F −1
tj , idet F tj
er en kovariansmatrix. Da en linearkombination af normalfordelinger igen er
normalfordelt, bliver U 1 og U 2 flerdimensionalt normalfordelte med fordeling
givet som
1
U
U 2
Σ 0
Xtj|tj−1
Ftj−1 ∼ N
,
0 0 F t
Tætheden for de oprindelige delvektorer kan vi finde ved, at transforme
tilbage igen. Dette gøres blot ved at sætte U 1 = Xtj + C vtj og U2 = vtj
ind igen, idet vi bemærker, at Jacobi-matricen for transformationen har determinant
1
−1
I −P tj|tj−1B F tj
0 I
23
= 1
⊤
Ftj