Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman ...

og
H( ˆ Θ) =
G( ˆ Θ) =
N ∂2ltj (Θ)
∂Θ∂Θ ⊤
N
∂ltj (Θ)
∂Θ
j=1
j=1
Θ= ˆ Θ
Θ= ˆ Θ
∂ltj (Θ)
∂Θ ⊤
Θ= ˆ Θ
Jf. Hamilton (1994, side 389) er denne angivelse en metode til korrekt at
estimere kovariansmatricen, n˚ar der anvendes QML.
Algoritmen bliver
1. Vælg Xt0|t0 og P t0|t0 . Udregn koefficientmatricerne A, B, C, D og H
til state-space ligningerne for givne parametre Θ.
2. Udregn den betingede kovariansmatrix for den underliggende proces
V tj ved at benytte Xtj|tj i stedet for den ukendte realisering af pro-
cessen Xtj .
3. Lav forecast og find kovariansen p˚a dette
Xtj|tj−1
= C + D Xtj−1|tj−1
P tj|tj−1 = D P tj−1|tj−1 D⊤ + V tj
4. Udregn innovationen og dennes kovarians
vtj = Y tj − A − B Xtj|tj−1
F tj = B P tj|tj−1 B⊤ + H
5. Find det j’te led i loglikelihooden
lj = − ln F tj
− v ⊤ tj
F −1
tj vtj
6. Opdater estimatet p˚a den underliggende proces, dvs. lav filtreringen og
erstat med 0, hvis den filtrerede værdi bliver negativ:
= max
Xtj|tj
Xtj|tj−1 − P tj|tj−1B⊤F −1
tj
vtj , 0
P tj|tj = P tj|tj−1 − P tj|tj−1 B⊤ F −1
tj B P tj|tj−1
7. For j < N g˚a tilbage til punkt 2. For j = N find loglikelihoodfunktionen
ved at summere bidragene fra punkt 5.
29