9. Sandsynlighedsregning - KennethHansen.net

Hvis vi vil illustrere frekvensfunktionen, så tegnes et stolpediagram, og hvis vi vil illustrere
fordelingsfunktionen, så tegnes en sumkurve, som vi gjorde det i statistik afsnittet i det
diskrete tilfælde.
Fordelingsfunktionen er så vigtig, at i afsnittene om binomialfordelingen og normalfordelingen
vil vi faktisk kun regne med fordelingsfunktionen, når vi løser et problem.
Bevis
Definition 13
Lad X være en stokastisk variabel. Så definerer vi
1) tæthedfunktionen f ved f ( a) = P( X = a)
2) fordelingsfunktionen F ved F( a) = P( X ≤ a)
Definition 14
Lad X være en stokastisk variabel med m udfald, så defineres
middelværdien af X til at være det vejede gennemsnit E( X ) (eller
μ)
E( X) = X ( u ) ⋅ p( u ) + X( u ) ⋅ p( u ) + ... + X( u ) ⋅ p( u )
Sætning 15
Ifølge definition 14 får vi
E( X) = X ( u ) ⋅ p( u ) + X( u ) ⋅ p( u ) + ... + X( u ) ⋅ p( u )
1 1 2 2
27
m m
Vi samler leddene, så alle de udfald, der fik knyttet tallet t1 til sig, kommer til at stå
forrest, og med t 1 sat udenfor en parentes, og ligeledes med de andre led.
( ) ( )
E( X) = t ⋅ P( v ) + P( v ) + ... + P( v ) + ... + t P( w ) + P( w ) + ... + P( w )
1 1 2 k n 1 2
l
hvor v1 , v2 ,..., vk alle er udfald, hvortil X knyttes til tallet t1 . Vi ser nu, at
P( X = t1) = P( v1) + P( v2 ) + ... + P( vn )
hvoraf sætningen følger.
1 1 2 2
m m
Lad X være en stokastisk variabel med værdierne t1 , t2 Så er
, ... , tn .
E( X) = t ⋅ P( X = t ) + ... + t ⋅ P( X = t )
1 1
n n