9. Sandsynlighedsregning - KennethHansen.net

Nedenstående definition giver en frekvensfunktion, som er klokkeformet, og som har den
egenskab, at 'summen af alle frekvenser giver 1'. Det er en kontinuert funktion, så i 3g vil vi
sige, at integralet af f giver 1, hvilket skrives på følgende måde
∫
∞
−∞
f ( t) dt
= 1
Det kan intuitivt opfattes som, at arealet mellem frekvensfunktionens graf og førsteaksen
giver 1. Det gjorde det jo også, da vi tegnede frekvensfunktionen af nittehoved-eksemplet i
den deskriptive statistik., hvilket man hurtigt kan tjekke efter.
Denne normalfordeling er særligt fin, fordi den har en simpel middelværdi og varians.
Bevis
Definition 31
En kontinuert stokastisk variabel X kaldes standard-normalfordelt,
hvis den har frekvensfunktionen
Sætning 32
Uden nærmere forklaringer er beviset for f.eks. 1 som følger
E( X) = x ⋅ ⋅ e dx = −e
⎡
1
1 2 1
∫ 2π
2π
⎣⎢
x→∞
⎛
⎝
ϕ(
t) e t
= ⋅ −
1 2
∞
−∞
2π
Lad X være standard normalfordelt, så gælder
1) E(X)=0
2) σ(X)=1
− x − x
x ⎞
e ⎟ − − e
⎠
⎛
1 −1
1
2
⎜
2π
⎝ 2π
lim⎜ − lim
1
2
2 1
2
2
2
−1
2
x
2
x→−∞
50
⎤
⎦⎥
∞
−∞
⎞
⎟ =
⎠
Beviset kræver kendskab til kontinuitet, grænseværdi og integralregning.
Udfra standard-normalfordelingen kan man nu definere alle mulige andre normalfordelinger:
=
0