ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ - Nemertes

Κεφάλαιο 2: Προβολική Γεωμετρία
Κεφάλαιο 2: Προβολική Γεωμετρία
2.1 Εισαγωγή
Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε, σε έναν ικανοποιητικό
βαθμό, τα βασικότερα σημεία της προβολικής γεωμετρίας, πάνω στην οποία στηριζόμαστε για την
πραγματοποίηση της συγκεκριμένης εργασίας. Ο άνθρωπος κινείται, δραστηριοποιείται και γενικά
αποτελεί μέρος ενός τρισδιάστατου κόσμου, ο οποίος περιγράφεται με μεγάλη ακρίβεια από την
Ευκλείδεια γεωμετρία. Σύμφωνα με αυτή τη γεωμετρία, δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο
επίπεδο και δεν τέμνονται είναι παράλληλες, γωνίες που τέμνονται καθορίζουν τις μεταξύ τους
γωνίες και οι πλευρές των αντικειμένων έχουν συγκεκριμένα μήκη. Επιπλέον, αυτές οι αρχές δεν
αλλάζουν όταν εφαρμόζονται ευκλείδειοι μετασχηματισμοί (μετατόπιση και περιστροφή).
Από την στιγμή λοιπόν που ο κόσμος μας περιγράφεται τόσο καλά από την ευκλείδεια
γεωμετρία θα ήταν λογικό να πιστεύαμε ότι είναι και η μοναδική γεωμετρία. Παρόλα αυτά, στα
πλαίσια της εργασίας μας και της επεξεργασίας εικόνων, η ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι
αποτελεσματική, από τη στιγμή που γνωστά μήκη και γωνίες δεν διατηρούνται και παράλληλες
γραμμές μπορεί να τέμνονται. Θεωρώντας όμως τον Ευκλείδειο χώρο σαν έναν υποχώρο του
προβολικού και χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα της προβολικής γεωμετρίας τότε προβλήματα
όπως, η μη γραμμικότητα των εξισώσεων με χρήση των ευκλείδειων συντεταγμένων, αντιμετωπίζονται,
αφού τα συστήματα που προκύπτουν είναι γραμμικά. Επίσης, θετικό στοιχείο είναι και το
γεγονός ότι από μαθηματικής απόψεως η προβολική γεωμετρία είναι απλούστερη της ευκλείδειας,
ούσα γενικότερη.
Τέλος, σε θεωρητικό επίπεδο, η προβολική γεωμετρία υπερέχει της ευκλείδειας στην
επεξεργασία εικόνων διότι επιτρέπει έναν μεγαλύτερο αριθμό μετασχηματισμών, πέραν της
μετατόπισης και της περιστροφής, συμπεριλαμβανομένης της προοπτικής προβολής από τον
τρισδιάστατο στον δισδιάστατο προβολικό χώρο. Καταλήγουμε, λοιπόν, στο συμπέρασμα πως
μέσω της προβολικής γεωμετρίας θα καταφέρουμε να μοντελοποιήσουμε την λειτουργία της
κάμερας και να αναπτύξουμε το οικοδόμημα της τρισδιάστατης όρασης.
2.2 Ομογενείς συντεταγμένες
Έστω ότι έχουμε ένα σημείο (x, y) στο ευκλείδειο επίπεδο. Για να περιγράψουμε το ίδιο σημείο
στο προβολικό επίπεδο αρκεί να προσθέσουμε μία τρίτη συντεταγμένη, μη μηδενική, έστω (x,
y, 1). Η τελευταία συντεταγμένη μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή εκτός του μηδενός, άρα έχουμε
το σημείο (x, y, w) με w≠0. Παρατηρούμε λοιπόν, ότι μπορούμε πολύ εύκολα να περάσουμε από
την αναπαράσταση του ενός επιπέδου στην άλλη.
Ένας ορισμός της προβολικής γεωμετρίας είναι ότι δύο σημεία του n-διάστατου προβολικού
χώρου , P n , που περιγράφονται από τα διανύσματα n+1 συντεταγμένων
x = [x 1 , x 2, …, x n+1 ] και y = [y 1 , y 2 ,…, y n+1 ]
ταυτίζονται αν και μόνο αν υπάρχει σταθερά k ≠ 0, ώστε να ισχύει
x i = ky i , για κάθε 1≤ i ≤ n+1.
Επομένως προκύπτει πως κάθε σημείο περιγράφεται από άπειρα διανύσματα συντεταγμένων, τα
οποία διαφέρουν μεταξύ τους κατά μία πολλαπλασιαστική σταθερά k και ονομάζονται ομογενείς
συντεταγμένες του σημείου. Έτσι για παράδειγμα, στον Ρ 2 έχουμε ότι το (x, y, 1) και το (kx, ky, k),
με k ≠ 0, είναι ομογενείς συντεταγμένες του ίδιου σημείου. Από ένα σημείο του προβολικού
5