Kapitel 1-2 - Uvmat.dk

- 13 -Bevis:Ad 1): Ifølge sætning 1.1.9 gælder der følgende omskrivninger:1 rra = loga −1 r(r)⇔ r = log a ( a ) ⇔ r = ⋅ ln(a ) ⇔ r⋅lna = ln( arr) ⇔ a = ln -1 (r⋅lna)ln a−For a = 1 har vi, at ln 1 (r ⋅ ln1)= ln − 1 (0)= 1 = 1 r , hvormed 1) er bevist i alle tilfælde.Ad 2): Ud fra definition 1.2.2 ser vi, at e x = ln -1 (x) for et vilkårligt tal x. Dette gælder specielt forx = r ⋅ ln a , hvormed vi ifl. pkt. 1) får det ønskede.Ad 3): Da dette indgår som en del af omskrivningen i pkt. 1), er sætningen hermed bevist. ♥Øvelse 1.2.4.Vis, at regel 3) i sætning 1.2.3 gælder for en vilkårlig logaritmefunktion log c , dvs. at:log c (a r ) = r⋅log c (a) for alle a > 0 og alle r ∈ R. ♥Eksempel 1.2.5.Som også omtalt i eksempel 1.1.18, findes der på de fleste matematiske lommeregnere taster til bådeln og den omvendte funktion ln -1 , der også betegnes med e x (se afsnit 1.3).Vi vil nu finde værdien af 3,45−0,23⋅ 0,62π ⋅ 4,1 ved hjælp heraf. Vi har:50,233,4 0,62π −−⋅ ⋅ 4,1 = ln 1−( 5 ⋅ln3,4)⋅ ln 1−( π ⋅ ln 0,62)⋅ ln 1 ( −0,23⋅ln 4,1)= ln –1 (2,736445) ⋅ ln –1 (– 1,501794) ⋅ ln –1 (– 0,324527)= 15,432027 ⋅ 0,222730 ⋅ 0,722869= 2,484631Det skal bemærkes, at de fleste lommeregnere har en tast med benævnelsen y x eller ^ , og at f.eks.53 ,4 da kan udregnes ved direkte at taste: 3,4 y x 5 eller 3,4 ^ 5 . ♥Øvelse 1.2.6.Udregn værdien af følgende:a)33 b)−1,1120 ⋅ π2,7c)6,060,6⋅0,50,4171,6♥Det udvidede potensbegreb opfylder de samme regneregler som det sædvanlige potensbegreb, idetder gælder følgende sætning:Sætning 1.2.7.For alle a , b ∈ R + , for alle r , s ∈ R og alle n ∈ N gælder:1)5)aabrrrsr + s⋅ a = a2)r⎛ a ⎞= ⎜ ⎟6)⎝ b ⎠aars−ra =r−s= a3)a1r(ar)sr⋅s= a 4)rra ⋅ b =117) a = a2n8) a = an(ab)r------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner – og matematiske modeller”