Kapitel 1-2 - Uvmat.dk

- 10 -Bevis: Beviset bygger på, at c er grundtal for log c og dermed gælder: log c (c n ) = n⋅log c (c) = n⋅1 = n,hvor sætning 1.1.6 pkt. 1) og 4) er anvendt. ♥Øvelse 1.1.14.Tegn figurer i stil med figur 1.1.5 for funktionerne: log 2 , log 5 og log . Kommentér resultaterne.Prøv på hver af de tre skalaer at placere tallene 7 og 19. ♥Sætning 1.1.15.1) På en logaritmisk skala er den fysiske afstand mellem tallene 10⋅x og x lig med log c (10).Dermed gælder specielt, at for alle hele tal n er den fysiske afstand mellem 10 n og 10 n+1den samme uanset værdien af n.2) Lad x være et positivt tal og lad n være det mindste hele tal, som opfylder, at 10 n ≥ x. Da gælder,at på en logaritmisk skala er den fysiske afstand mellem x og 10 n lig med den fysiske afstandmellem 10x og 10 n+1Bevis:Den fysisk afstand mellem 10x og x er ifølge konstruktionen af den logaritmiske skala givet ved:log c (10x) – log c (x) = log c (10) + log c (x) – log c (x) = log c (10).Den fysiske afstand mellem x og 10 n er givet ved: log c (10 n ) – log c (x) = n⋅log c (10) – log c (x)og den fysiske afstand mellem 10x og 10 n+1 er givet ved:log c (10 n+1 ) – log c (10x) = (n+1)⋅log c (10) – (log c (10) + log c (x)) = n⋅log c (10) – log c (x)hvormed de to størrelser altså er ens. Hermed er sætningen bevist. ♥Eksempel 1.1.16.På figur 1.1.6 er vist placeringen af 0,1, 1, 10, 100, 1000 og af 5,4 og 54 på en logaritmisk skala.5,4 54Fig. 1.1.6 0,1 1 10 100 1000log.skalaIfl. sætning 1.1.15 er ”afsnittet” fra 10 til 100 inddelt på samme måde som afsnittet fra 1 til 10, somigen er inddelt på samme måde som afsnittet fra 0,1 til 1, osv. osv. F.eks. er afstanden fra 5,4 til 10den samme som fra 54 til 100, som igen er den samme som afstanden mellem 540 og 1000.Et sådant ”afsnit” fra 1 til 10 kaldes en dekade. På figur 1.1.6 er der således medtaget 4 dekader.På figur 1.1.7 ses dekaden fra 1 til 10 i ”forstørret” version:Fig. 1.1.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ♥Øvelse 1.1.17.Tegn en logaritmisk skala uden delepunkter og tal på. Afsæt 5 punkter med lige stor afstand imellemsig – fordelt over skalaen.a) Hvis der står 1000 og 10000 ved de to første punkter, hvad står der så ved resten ?b) Hvis der står 1 og 10 ved de to sidste punkter, hvad står der så ved resten ?c) Prøv at inddele et par af dekaderne på de to akser i pkt. a) og b). ♥------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner – og matematiske modeller”