Kapitel 1-2 - Uvmat.dk

- 29 -Bevis:Vi skal altså bevise, at hvis udsagnet 1) er opfyldt, så gælder 2) også – og omvendt.Vi starter med at antage, at vi har indtegnet grafen for f i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem ogderved har fået en ret linie som vist på figur 1.5.1, dvs. vi antager, at 1) er opfyldt.alm. skalalog c (f(x))Fig. 1.5.1log. skalaf(x)• (x, f(x))xalm. skalaPå figuren er der ved siden af 2.aksenindtegnet en almindelig tallinie meden almindelig skala. (Man skal forestillesig, at den ligger oveni 2.aksen,men af tegnetekniske årsager er denvist ved siden af).For et vilkårligt punkt (x, f(x)) pågrafen i det enkeltlogaritmiske koordinatsystemgælder, at det svarer tilpunktet (x, log c (f(x))) i det almindeligekoordinatsystem bestående af1.aksen og den almindelige skala ved2. aksen. (Jfr. definitionen af en logaritmiskskala (Definition 1.1.12)).log c er altså den logaritmefunktion, som er anvendt til konstruktionen af den logaritmiske skala.Da punkter af formen (x, log c (f(x))) udgør en ikke-vandret, ret linie i et almindeligt koordinatsystem,findes der to tal p, q ∈ R (p ≠ 0), sålog c (f(x)) = p⋅x + qDa Vm(log c ) = R og Dm(log c ) = R + (jfr. sætning 1.1.5), findes der to positive tal a og b, sålog c (a) = p og log c (b) = q. Vi får dermed, at:log c (f(x)) = log c (a)⋅x + log c (b) = log c (a x ) + log c (b) = log c (b⋅a x )Da en logaritmefunktion er injektiv får vi hermed, at f(x) = b⋅a x , dvs. at f er en eksponentiel vækstfunktion.(Bemærk, at a ≠ 1, idet p ≠ 0). Hermed er 2) bevist.Antag herefter omvendt, at 2) er opfyldt, dvs. at f er af formen: f(x) = b⋅a x , hvor b > 0, a > 0, a ≠ 1Vi vil nu udregne log c (f(x)), hvor log c er den logaritmefunktion, der er anvendt til at konstruere denlogaritmiske skala i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem:log c (f(x)) = log c (b⋅a x ) = log c (b) + log c (a x ) = log c (b) + x⋅log c (a).Hvis vi sætter p = log c (a) og q = log c (b) får vi i alt, at: log c (f(x)) = p⋅x + qSom omtalt ovenfor gælder der, at når vi i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem afsætter punkter(x,f(x)) på grafen for f, så afsætter vi i virkeligheden – p.gr.a. konstruktionen af den logaritmiskeskala – punkterne (x, log c (f(x))) i et almindeligt koordinatsystem. Da log c (f(x)) = p⋅x + q ser vidermed, at grafen for f bliver en ret linie i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem. (Bemærk desuden,at da a ≠ 1, er p ≠ 0). Hermed er sætningen bevist. ♥------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner – og matematiske modeller”